Análise combinatória

Estudo das combinações e possibilidades

A análise combinatória corresponde ao campo da matemática que aborda os métodos de contagem. Esse estudo possibilita as técnicas de probabilidade na solução de cálculos, sendo iniciado ainda no século XVI, por meio do Italiano e matemático Nicolas Fontana (1499- 1557), mais conhecido como Tartaglia.

Em outras palavras, o método matemático permite que sejam formadas possibilidades a partir dos elementos disponíveis para se chegar a um possível resultado.

A análise combinatória é um modelo da matemática. (Foto: Pixabay)

Princípio multiplicativo

O princípio multiplicativo, também denominado de princípio fundamental da contagem corresponde ao processo de combinações possíveis quando multiplica-se o conjunto de elementos.

Entenda a aplicação abaixo:

Pedro tem 4 camisas (A, B, C, D) e 3 calças (a, b, c). Ele pode vestir-se de “x” maneiras diferentes. Ou seja:

1. A, a

2. A, b

3. A, c

4. B, a

5. B, b

6. B, c

7. C, a

8. C, b

9. C, c

10. D, a

11. D, b

12. D, c

Dessa maneira percebe-se que Pedro pode fazer até 12 combinações diferentes para vestir-se. Na análise combinatória é possível utilizar (em pequenas operações) o diagrama da árvore.

Relembre o fatorial

Em análise combinatória fazem parte do assunto os arranjos, combinações e permutações. Nesses temas empregamos o fatorial para resolver as questões de matemática. Por essa razão é importante revisá-lo.

O que é fatorial de um número? É uma série de multiplicação de um número natural até aos antecessores. O número em fatorial é representado por “n!”. Ou seja: 5!, 6!, 4! (Lê-se cinco fatorial, seis fatorial e quatro fatorial, respectivamente).

Obs.: os números naturais são aqueles que são inteiros e não negativos N* {1, 2, 3, 4...}.

A definição do fatorial de um número natural é expressado da forma abaixo:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!

O fatorial na prática

Confira abaixo o exemplo de como fazer o fatorial de um número:
•    Fatorial de oito: 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320
•    Fatorial de cinco: 7! = 7.6.5.4.3.2.1= 5040
•    Fatorial de quatro: 6! = 6.5.4.3.2.1= 720
•    Fatorial de cinco: 5! = 5.4.3.2.1= 120
•    Fatorial de três: 3! = 3.2.1= 6

Atenção!
Como definição, o fatorial de um é 1. Portanto: 1! = 1. Da mesma forma acontece com o zero, onde o fatorial também é o número 1. Logo, 0! =1.

A permutação na análise combinatória

Em análise combinatória permutação é entendida como a “troca de lugar”. Portanto quando algo for mudado de posição ocasionando uma nova ordem, essa ação é denominada de permutação.

O cálculo matemático usado para expressar a permutação é a seguinte:

Pn = n!

Onde: “n” é o número total de elementos.

Permutação simples

A permutação simples ocorre quando todos os objetos ordenados são diferentes, ou seja, não acontece repetição. Entenda o exemplo de como calcular a permutação simples, através da fórmula: Pn = n!

Aplicação: P4

P4= 4! = 4.3.2.1 = 24

Permutação com repetição

A permutação por repetição, na análise combinatória, ocorre quando objetos ordenados indicam recorrência. Confira abaixo o exemplo com os anagramas:

“M A T E M A T I C A”.

Nesse modelo temos M, A T, com letras repetidas. Para calcular na permutação com elementos repetidos usamos a seguinte fórmula:

Fórmula permutação com repetição

Legenda:
• a (alfa), ß (beta), y (gama)
• Essas letras gregas representam a quantidade de vezes que as letras da palavra repetem.

No exemplo dos anagramas M A T, temos:

Resultado da permutação com repetição

Legenda:
P10 (permutação de dez letras: M A T E M A T I C A)
P2,3,2 (repetição de dois “M”, três “A” e dois “T”)
10! (Fatorial do total)
2! (Fatorial: repetição do “M”)
3! (Fatorial: repetição do “A”)
2! (Fatorial: número de vezes “T”)

Temos portanto que a permutação do anagramas “M A T E M A T I C A” é:

Resultado anagramas M A T E M A T I C A

Análise combinatória: os arranjos

Os arranjos na análise combinatória são os agrupamentos compostos por “p” elementos distintos, onde “n” elementos é p = n. Cada grupo é diferente do outro pela natureza ou pela ordem dos elementos.

Arranjos simples e Arranjos com repetição

Arranjo simples
Para calcular o arranjo simples, a operação matemática utilizada é a seguinte:

Fórmula arranjo simples

Onde:
O “n” diz respeito ao nº total de elementos
O “p” corresponde ao nº de elementos de cada grupo

Aplicação:
Em uma competição de futebol com 9 times, quantas partidas serão realizadas em dois turnos?
N=9 e p=2

Resultado do exemplo da análise combinatória

Portanto serão realizadas 72 partidas.

Arranjo com repetição

A fórmula para calcular o arranjo com repetição é formada pela seguinte expressão:

Fórmula arranjos com repetição

Legenda:
O “n” = diz respeito ao total de nº de elementos
o “r” = corresponde ao nº de elementos escolhidos

Confira abaixo o vídeo com informações sobre arranjos e combinações

Combinação simples

A combinação, na análise combinatória, é definida como um tipo de agrupamento. Ao contrário dos arranjos, a ordem dos elementos na combinação não é importante. Veja abaixo a representação da fórmula:

Fórmula combinação

Legenda:

O “n” corresponde ao número de elementos que pertencem ao conjunto
O “p” é o número natural menor ou equivalente ao “n”.