Tamanho da superfície
Como é um sólido geométrico com propriedades tridimensionais – apresenta profundidade, altura e largura – a área da esfera representa a medida da sua superfície, que é o resultado de um conjunto de pontos no espaço cuja distância ao centro O é igual ao raio r.
A superfície esférica origina da rotação completa de uma semicircunferência ao redor do diâmetro e é quatro vezes a maior que a área do círculo. Por isso, é calculada através da fórmula Ae = 4.p.r²
Sendo,
Ae: área da esfera
p (Pi): aproximação de 3,14
r: raio da esfera
r: raio da esfera
Antes de calcularmos área da superfície esférica, vamos relembrar os conceitos sobre sólidos geométricos, categoria em que a esfera é integrante.
Definições
Assim como a pirâmide e o cilindro, a esfera é um tipo de sólido que mantém três dimensões e ocupa lugar no espaço. Por tais motivos, é objeto de estudo da Geometria Espacial.
Caracteriza-se pelo aglomerado de pontos no espaço no qual a distância em relação ao ponto fixo (centro O) é menor ou igual ao raio r, além da simetria e os seguintes elementos:
• Polos: pontos situados nas extremidades do diâmetro.
• Paralelo: circunferência que fica paralela ao equador.
• Equador: circunferência equivalente à seção perpendicular ao eixo no centro do sólido.
• Meridiano: corresponde a circunferência formada pela intersecção do plano que mantém o eixo de rotação com a superfície esférica.
Elementos da esfera. (Foto: Educa Mais Brasil)
Partes da esfera
Além de todas as propriedades citadas acima, a esfera é composta pela calota, fuso e cunha.
Fuso - superfície criada pela rotação da circunferência ao redor do eixo esférico, especificamente entre os ângulos 0 e 2p . Como trata-se da “casca”, é possível determinar a área:
Af = p.r².a /90 (a em graus) ou Af = 2.r².a (a em radianos)
Em que,
Af: área do fuso esférico
p: (número pi): aproximação de 3,14
a: ângulo do fuso
Calota – região esférica cortada pelo plano perpendicular ao eixo de rotação. Quando esse plano passa pelo centro da esfera, a altura da calota é igual ao raio da esfera.
Para encontrar a área e o volume usa-se fórmulas:
Vcal = p.h² / 3(3r-h)
Em que,
Vcal: volume da calota
p (número pi): aproximação de 3,14
h: altura da calota
Ac = 2.p.r.h
Em que,
Ac: área da calota
p (número pi): aproximação de 3,14
r: raio da esfera;
h: altura da calota
Cunha – sólido originado da rotação do semicírculo ao redor do seu eixo (0° < a ≤ 360°). Então, é possível determinar o volume e a área.
Vc = p. r³. a°/ 270°
Em que,
Vc: volume da cunha
p (número pi): aproximação de 3,14
r: raio
a : ângulo da cunha
Ac = p . r² + Af
Em que,
Ac: área da cunha
p (número pi): aproximação de 3,14
r: raio da esfera
Af: área do fuso
Cálculo da área da esfera
Agora que já sabemos as característica da esfera, vamos fixar o assunto por meio dos exemplos abaixo:
Exemplo 1: Dada uma esfera cujo raio é de 60 cm, qual a área da sua superfície?
Utilizando a fórmula:
Ae = 4..p.r²
Ae = 4.3,14. 60²
Ae = 4. 3,14. 3600
Ae = 45216 cm²
Exemplo 2: Uma esfera apresenta raio de 30 cm. Qual seria a diferença entre sua área e a do fuso esférico dessa mesmo sólido com ângulo de 90° e considerando p = 3?
A = 4pr²
A = 4. 3.302
A = 4.3. 900
A = 10800 cm²
Depois, determinar a área do fuso esférico:
Af = p.r².a/90
Af = 3. 30².90 /90
Af = 3. 900.90 /90
Af = 243000 /90
Af = 2700 cm²
Por fim, subtrair as áreas encontradas:
A = 10800 - 2700 = 8100 cm²