Representação gráfica de operação entre conjuntos
Diagrama de Venn é uma representação gráfica utilizada na matemática para apresentar elementos, propriedades ou problemas de um conjunto. É caracterizado por duas ou mais circunferências que se cruzam formando subconjuntos. Dentro dos círculos e de suas interseções são inseridos os elementos dos conjuntos e, para representar o Universo, os círculos são inseridos dentro de um retângulo.
Representação do Diagrama de Venn. (Imagem: Educa Mais Brasil)
O Diagrama de Venn
O diagrama recebe esse nome em homenagem ao matemático e filósofo britânico John Venn (1834-1923). A representação gráfica de Venn era uma atualização melhorada dos sistemas produzidos pelos matemáticos: Leibniz, George Boole e Augustus De Morgan.
O diagrama de Venn é muito utilizado não somente na matemática e na lógica, mas também por diversas áreas do conhecimento como logística, pesquisas de mercado, ciência da computação, etc.
Inclusão entre conjuntos
Chama-se inclusão quando todos os elementos do conjunto A é parte do conjunto B. Desta forma A é subconjunto de B, ou seja, A está contido em B.
A representação gráfica desse tipo de relação é dada por: A ⊂ B. Ou podemos dizer: A está contido em B. Também é possível representar assim: B ⊃ A, ou seja, B contém A.
Diagrama de Venn - inclusão (Imagem: Educa Mais Brasil)
Intersecção entre conjuntos
Interseção entre conjuntos é quando existem elementos comuns entre os conjuntos. Desta forma, existem elementos de A que também são elementos de B. Então, dado dois conjuntos a intersecção entre eles é representado por A ⋂ B. Lê-se A intersecção B. Graficamente o diagrama aparece com dois conjuntos e a parte da intersecção pintada. Observe:
Representação A ⋂ B. (Imagem: Educa Mais Brasil)
Também podemos representar a interseção pela simbologia dos conjuntos. Observe a figura:
Intersecção entre conjuntos. (Imagem: Educa Mais Brasil)
Neste caso:
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11}
B= {8, 9, 10, 11, 12}
A ⋂ B = {9, 11}
União entre conjuntos
A união entre conjunto é uma operação em que os elementos dos conjuntos A e B são somados. Ou seja: A ⋃ B. Na representação gráfica do diagrama de Venn a operação é indicada pintando os dois conjuntos com a mesma cor.
Diagrama de Venn – união (Imagem: Educa Mais Brasil)
Na representação do conjunto:
Representação M U N. (Imagem: Educa Mais Brasil)
N = {3, 4, 5, 6}
M = {0, 1, 2, 3}
N ⋃ M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Diferença entre conjuntos
A diferença entre dois conjuntos é a operação que elimina todos os elementos de um dos conjuntos. Ou seja, elimina os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. É indicado por A - B. A representação gráfica aparece com a parte do conjunto A, que não tem elementos, e de B pintado.
Representação B – A e A – B. (Imagem: Educa Mais Brasil)
Pela representação dos conjuntos fica:
Representação B – A e A – B. (Imagem: Educa Mais Brasil)
A = { 1, 2, 3, 4}
B = {1, 4, 6}
A – B= {2, 3}
B – A = {6}
Complementar
O complementar é, na teoria dos conjuntos, todos os elementos que não estão contidos em A, mas que faz parte do conjunto Universo U. Ou seja, são os outros elementos que não estão em A, mas fazem parte do Diagrama de Venn.
Tendo dois conjuntos A e B, a representação gráfica do complementar dos dois conjuntos é dada por:
Representação gráfica do complementar. (Imagem: Educa Mais Brasil)
Exemplo:
Dado dois conjuntos A e B, com A ⊂ B, o complementar de A em relação a B é o conjunto B - A. Assim, no diagrama abaixo:
Explicação do complementar. (Imagem: Educa Mais Brasil)
A = {0, 1, 2}
B = {0, 1, 2, 5, 6}
B ⊂ A = B - A
B ⊂ A = {0, 1, 2}
O diagrama de Vann pode ter dois ou mais conjuntos. Quanto maior for a qualidade de conjuntos dessa representação mais complexa será a resolução dos problemas.
Aplicação do diagrama de Venn
O Diagrama de Vann é normalmente aplicado em exercícios de raciocínio lógico e operações com conjuntos. No dia a dia é usado na identificação de dados sociais ou de mercado. Com ele é possível calcular a quantidade de pessoas que foram afetadas por dois tipos de doenças. Também é possível realizar pesquisas de mercado para saber, por exemplo, a quantidade de consumidores que realizam a compra de certo produto ao mesmo tempo em que compram outro.