É a menor distância entre dois pontos em um segmento de reta
A distância entre dois pontos está relacionada a uma medida considerada dentro plano cartesiano que liga um ponto A a um outro ponto denominado B a uma certa distância, sendo considerada a menor distância entre esses pontos. Para calcular essa medida basta utilizar os cálculos baseados nos estudos da geometria analítica.
Ao traçar esses pontos no plano cartesiano, essa distância é obtida através do par ordenado (x, y) com o constitui. O seu cálculo pode ser realizado a partir de uma fórmula desenvolvida, com bases nas regras do Teorema de Pitágoras, principalmente quando os pontos marcados no plano cartesiano formam um triângulo retângulo.
Considerando os pontos traçados dentro de plano cartesiano, sendo eles A (xA, yA) e B(xB, yB), a fórmula é expressa da seguinte forma:
Fórmula da distância entre dois pontos.
Plano cartesiano e a distância entre dois pontos
A aplicação da fórmula se dá a partir do momento em que os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), respectivamente, são traçados no plano cartesiano e suas medidas são de terminadas. Logo depois, basta construir o segmento de reta que constitui essa medida dentro do plano, considerando que a medida considerada é a menor distância entre os dois pontos.
Pontos A e B marcados no plano. (Foto: Educa Mais Brasil)
O plano mostrado anteriormente apresenta os pontos A e B marcados, formando uma distância mostrada em diagonal em relação aos eixos X e Y com destaque para suas coordenadas nos eixos x e y, respectivamente. Observa-se que as coordenadas traçadas deu origem a um triângulo ABC, com características de um triângulo retângulo, sendo sua hipotenusa o segmento formado pelos pontos AB. Portanto, para encontrar a distância desse segmento pode-se utilizar a aplicação do Teorema de Pitágoras.
Entretanto, antes de determinar esse comprimento, é preciso conhecer os valores das medidas dos segmentos AC e BC, que são os catetos desse triângulo.
Considerando que o segmento AC mede xB – xA, e o segmento BC tem a medida equivalente a yB – yA, com a aplicação do Teorema de Pitágoras é possível resolver essa operação geométrica.
Como o comprimento do segmento AB é justamente a distância entre os pontos A e B, entende-se que a fórmula utilizada para calcular a distância é resultante da aplicada do teorema citado acima:
Fórmula da distância entre dois pontos.
Aplicação da fórmula acima , a partir das medidas dos catetos e da hipotenusa.
A seguir, observe a seguinte imagem dos pontos A e B marcados em um plano:
Representação dos pontos marcados no plano. (Foto: Educa Mais Brasil)
A princípio, pode-se observar que os pontos possuem coordenadas com os eixos X e Y, a mesma imagem mostrada acima. Sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), respectivamente. Na marcação desses pontos há a formação do triângulo retângulo ABC, determinando seus lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.
Entende-se que a distância entre os pontos A e B será a hipotenusa do triângulo retângulo. Já conhecendo suas coordenadas, basta aplicar a fórmula explicada anteriormente e conhecer as medidas pretendidas.
Coordenada relacionada ao cateto 1- BC: yb – ya
Coordenada equivalente ao Cateto 2- AC: xb – xa
Medida da Hipotenusa AB: distância (D)
A partir desse esclarecimentos é possível a calcular a distância entre pontos para qualquer plano cartesiano apresentado. Veja os exemplos seguintes:
Exemplo 1 : Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.
xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5
Resultado da operação matemática.
Exemplo 2:
Determine a distância entre os pontos traçados a seguir, sendo eles: P(-2,3) e Q(-5,-9).
xa: -2
xb: -5
ya: 3
yb: -9
Resultado da operação matemática.
Coordenadas tridimensionais no plano cartesiano
As coordenadas tridimensionais determinam a marcação de pontos cartesianos na representação do espaço. Um ponto definido no espaço é marcado por três coordenadas associadas a eles, relacionadas aqui por x, y e z.
Para identificar a distância entre dois pontos no plano no espaço, é possível representá-los no sistema de coordenadas tridimensional, como mostra a figura a seguir, e efetuar os cálculos necessários a partir da fórmula.
Representação tridimensional do plano cartesiano no espaço. (Foto: Educa Mais Brasil)
Exemplo: de acordo com os planos acima, determine a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)?
Nesse exemplo, observa-se que o ponto A e B pertencem ao plano xy. Diferente do plano cartesiano como é frequentemente estudado em matemática, o tridimensional possui uma fórmula específica, expressa da seguinte maneira:
[d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5
Aplicando-se os pontos determinados, tem-se que a distância entre esses dois pontos é representada por √5.