Números decimais com algarismos que se repetem infinitas vezes
A dízima periódica é a representação numérica de números decimais,quaisquer que sejam eles, em que um ou mais dos seus algarismos se repetem infinitamente na mesma ordem.
A este algarismo que se repete por diversas vezes, seja ele simples ou composto, dá-se o nome de período. Esses números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais e podem ser representados por meio de frações.
Na imagem a seguir há um exemplo do número decimal 2,33333..., também considerado uma dízima periódica, transformado em fração. Veja:
As dízimas periódicas são convertidas em fração.
Dízimas periódicas simples e compostas
--> A dízima periódica será considerada simples quando apenas depois da vírgula houver números inteiros. Nas demonstrações a seguir há exemplos de dízimas periódicas com períodos simples.
0,35353535... a parte inteira é equivalente a 0 e o período igual ao número 35.
1,3333333... o número 1 equivale a parte inteira da dízima e 3 corresponde ao período, pois é o algarismo que se repete.
1,222222... a parte inteira é igual a 1 e período equivalente a 2.
300, 240240240... a parte inteira corresponde ao número 300 e o período é 240.
--> Quando se trata das dízimas periódicas compostas, elas possuem, além dos períodos e a parte inteira, também há um algarismo que aparece apenas uma vez, mas em nenhum momento se repete, como ocorre com as dízimas simples. A partir dos exemplos é possível perceber de que forma elas se apresentam.
3,13101010... a parte inteira é o numeral 3, o 13 é o número que não corresponde a uma dízima e o período é equivalente a 10.
4,14111111... a parte inteira é o numeral 4, o 14 é o número que não corresponde a uma dízima e o período é equivalente a 11.
1,7863333... a parte inteira é o numeral 1, 786 é o número que não corresponde a uma dízima e o período igual a 3.
2,8974444... a parte inteira é o numeral 2, 897 é o número que não corresponde a uma dízima e o período igual a 4.
12,24626262... a parte inteira é representada pelo número 12, parte não periódica igual a 24 e período equivale a 62.
Representação numérica de uma dízima periódica
Uma dízima periódica são números decimais também convertidos em função geratriz através de algumas regras básicas das operações matemáticas. Caso o número correspondente seja uma dízima periódica simples, o numerador será composto pelo resultado da soma entre o período e os algarismos inteiros da dízima, eliminando somente os inteiros, sem a vírgula.
O denominador será composto pelo número “nove”. A quantidade de noves no denominador depende do número de algarismos que formam o período. Por exemplo, na dízima 3,2020... o período é composto por 2 algarismos, sendo este equivalente ao número 20, assim, o denominador será igual a 99.
A regra acima é válida apenas para dízima periódica simples. Em relação à dízima composta, o numerador é obtido por meio da subtração do número formado pelos algarismos inteiros que formam a dízima.
O denominador será resultante da quantidade de noves que equivalem aos algarismos do período. Além disso, adicionam-se zeros para cada algarismo que não se repete na parte decimal.
Acompanhe nos exemplos a transformação de dízimas em fração geratriz.
--> Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima representada por 4,5555
Resposta: o número decimal 4,555... equivale a uma dízima periódica simples. Logo, o denominador terá apenas um algarismo nove (9). Isso porque o seu período apresenta apenas um único algarismo, correspondente a 5. Assim, a fração será:
Conversão da dízima em fração geratriz.
--> Exemplo 2: Faça a conversão de dízima em fração geratriz representada por 7,38282...
Resposta: o numeral 7,38282... é uma dízima periódica composta, então o denominador será formado pelos números 990. O período é formado por 2 algarismos correspondentes a 82 e apenas 1 algarismo que não se repete na parte decimal, equivalente a 3.
Conversão da dízima em fração geratriz.
Fração geratriz: conversão de dízimas simples e compostas
Nas dízimas periódicas simples o período ocorre imediatamente após a vírgula. Seguem os exemplos abaixo:
Dízima periódica com período equivalente a cinco.
Período equivalente a três.
Período equivalente a doze.
Já nas dízimas periódicas compostas existe uma parte não periódica que fica posicionada entre o período e a vírgula. Acompanhe os exemplos:
Dízima periódica com período dois e parte não periódica equivalente a zero.
Dízima periódica com período quatro e parte não periódica equivalente a quinze.
Dízima com período 23 e parte não periódica equivalente a 1.