As retas podem ser definidas como um conjunto de pontos infinitos
As equações da reta podem ser obtidas por meio das equações de primeiro grau, onde existem as variáveis x e y dentro do plano cartesiano. As principais expressões matemáticas são: equação geral, equação fundamental, equação reduzida e equação segmentária.
Mas antes de dar continuidade ao estudo das equações da reta, você sabe o que é uma reta?
Uma reta pode ser definida como um conjunto de pontos infinitos, com tamanho infinito e unidimensional. Essa figura geométrica pode está disposta nas posições horizontal, vertical e inclinada.
Posições da reta. (Foto: Wikipédia)
E, ainda, de acordo com a quantidade de pontos que possuem em comum, as principais classificações são:
• Retas paralelas: não possuem nenhum ponto em comum e estão posicionadas uma ao lado da outra, sempre no mesmo sentido, horizontal, vertical ou inclinada;
• Retas perpendiculares: possuem um ponto comum que forma um ângulo de 90°;
• Retas transversais: retas que possuem interseções com uma ou mais retas. A reta perpendicular é um exemplo de reta transversal;
• Retas concorrentes: possuem direções diferentes e se encontram em determinado ponto. A formação de ângulos de 180° é chamado de ângulos suplementares;
• Retas coincidentes: possuem todos os pontos em comum.
Tipos de equações da reta
Equação fundamental da reta
Partindo do princípio que pontos distintos determinam uma reta, para o cálculo da equação fundamental de uma reta, devemos considerar um ponto PA (xA, yA), com coeficiente angular (m) e ponto genérico P (x, y).
Representação da equação fundamental da reta. (Foto: Educa Mais Brasil)
Fórmula:
Equação fundamental da reta
ou
y - A = m (x - A)
Observações:
• A equação y-yA = m(x-xA) será mantida independente localização do ponto PA e de m assumir a forma positiva ou negativa;
• Se a reta é paralela ao eixo x, m = 0 e a equação da reta será representada por y = yA.
• Se a reta é paralela ao eixo y, todos os pontos da reta têm a mesma abscissa e a equação será representada por x = xA.
Aplicação:
Dada a reta (r), que passa pelo ponto A (-1,4) e possui coeficiente angular 2, o cálculo dessa equação fundamental será:
y - A = m (x - A)
y - 4 = 2 (x- (-1 ))
y - 4 = 2(x + 1)
y - 4 = 2x + 2
- 2x + y - 6 = 0
2x - y + 6 = 0
Equação geral da reta
Toda reta no plano cartesiano é dada pela seguinte fórmula:
ax+ by+ c
Nomeada de equação geral da reta, os itens a, b e c são números reais e a e b é diferente de 0.
Outro método de determinar a equação geral da reta é através da matriz determinante, expressa abaixo:
Matriz equação geral
Aplicação:
Dado os pontos (1,3), (2,4) e um ponto genérico P= (x, y) da reta, o cálculo da equação geral da reta, através da matriz 3x3, segue os seguintes passos:
Aplicação matriz equação geral
1- repita as duas primeiras colunas à direita:
Aplicação matriz equação geral
2- identifique as diagonais principais (vermelho) e as diagonais secundárias (azul):
Aplicação matriz equação geral
3- realize a multiplicação das diagonais e some os resultados, sabendo que as diagonais principais receberão o sinal positivo e as diagonais secundárias receberão o sinal negativo:
Aplicação matriz equação geral
Equação reduzida da reta
Visto que, a equação geral da reta é representada por y - A = m (x - A). Ao escolher o ponto que a reta intersecta o eixo y particular (0, n) e ponto (x1, y1), obtemos a seguinte expressão que representa a equação reduzida da reta:
y-n = m(x-0)
y-n = mx
y = mx+n
A equação reduzida também pode ser obtida por meio da equação geral:
Equação reduzida
Aplicação:
Dada um reta que passa pelos pontos A=(2,7) e B=(-1,-5), o cálculo da equação reduzida será:
y = mx + n
Quando P (2,7)
7 = m2 + c
7 = 2m + c
2m + c = 7
Quando Q (-1, -5)
-5 = m (-1) + c
-5 = -m + c
-m + c = -5
Equação segmentária da reta
Dada a reta, com pontos (0, q) e (p, 0), a sua equação segmentária é descrita da seguinte maneira:
Representação da equação segmentária da reta
Equação segmentária da reta
Ao realizar a divisão da equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta representada por:
Equação segmentária da reta
Aplicação:
Dada uma reta, que passa pelos pontos (3,0) e (0,2):
Aplicação equação segmentária
Aplicação equação segmentária