Simplificação de equações matemáticas
O cálculo da fatoração é utilizado na simplificação das equações e das expressões algébricas. Em outras palavras, foi criada para transformar a soma e a subtração de uma equação em fatores.
O primeiro passo para se compreender a fatoração é através da forma mais simples, fazendo a divisão de um número com o menor número primo possível, até se tornar impossível seguir com a operação.
Vejam os exemplos:
Número | N. Primo |
250 | 2 |
125 | 5 |
25 | 5 |
5 | 5 |
1 |
250 fatorado: 2 . 5 . 5 . 5
Número | N. Primo |
882 | 2 |
441 | 3 |
147 | 3 |
49 | 7 |
7 | 7 |
1 |
882 fatorado: 2. 3. 3. 7. 7
A calculadora de fatoração determina os fatores do polinômio, trinômio ou binômio. (Foto: Pixabay)
Tipos de Fatoração
Fator Comum em evidência
Entre os tipos de fatoração está a comum, que é realizada quando se coloca fatores comuns em evidência, como por exemplo:
5x + 5y
Podemos identificar que o número 5 é visto nos dois termos, portanto, podemos destacá-lo:
5x + 5y = 5 (x + y)
Perceba que colocamos o 5 em evidência e multiplicamos pelos quocientes da sentença original.
Outros exemplos:
7a + 7b = 7 (a + b)
15x + 5y = 5 (3x + y)
14m + 28n = 7 (2m + 4n)
Agrupamento de termos semelhantes
Este é o segundo caso de fatoração. Sua intenção é reunir os termos comuns em partes da expressão. O procedimento é semelhante ao primeiro caso, porém é utilizado quando um elemento não é comum a todos os termos.
4x + 6x + 4y + 6y
Nessa circunstância, percebemos que o x é comum nos dois primeiros termos e o y nos dois últimos. Então, podemos destacá-los da seguinte forma:
4x + 6x + 4y + 6y = x (4 + 6) + y (4 + 6)
Ainda podemos simplificar mais, pois agora existe outro fator comum que é (4 + 6).
x (4 + 6) + y (4 + 6) = (4 + 6 ) + (x + y)
Então:
4x + 6x + 4y + 6y = (4 + 6 ) + (x + y)
Outros exemplos:
8x + 9x + 8y + 9y = x (8 + 9) + y (8 + 9) = (8 + 9) (x + y)
5a + 5b + 2a + 2b = 5 (a + b) + 2 (a + b) = (a + b) + (2 + 5)
Diferença de dois quadrados
Esse terceiro método pode ser aplicado apenas em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado. Vejamos:
25y² - 9y²
Visto que a² - b² = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração assim:
25y² - 9y² = (5y)² - (3y)² = (5y + 3y) (5y – 3y)
A fatoração foi realizada no encontro dos valores de a e b, que foram determinadas pela raiz quadrada do primeiro e segundo termo, e os substituindo em (a + b)(a - b). Logo:
25y² - 9z² = (5y + 3z) (5y – 3z)
Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômio do quadrado perfeito é mais um caso de fatoração em expressão algébrica. Um trinômio é o polinômio com três monômios sem termos semelhantes, ou seja:
3x² + 2x + 1
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito com os membros em ordem inversa. Então, o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.
X² + 14x + 49
Se pudermos escrever como a² + 2ab + b² estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)². Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x² no primeiro termo, e o valor de b resolvendo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos “a” por “x” e “b” por “7" nos termos do trinômio a² + 2ab + b² devemos chegar a uma variação do trinômio original:
x² + 2 . x . 7 + 7²
Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por “x” em a² chegamos ao x² original. Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original. Já substituindo b por 7 em b² chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x²+ 14x + 49 na forma a² + 2ab + b², então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado da seguinte forma:
X² + 2 . x . 7 + 7² = (x + 7)²
X² + 14x + 49 = (x + 7 )²