O fatorial de um número n é caracterizado como n!
O fatorial de um número inteiro e positivo “n”, representado por “n!” é obtido a partir da multiplicação de todos os seus antecessores até o número um, cuja expressão genérica é n! = n . (n – 1). (n – 2). (n – 3) ... 2,1.
Pela definição dada, o fatorial de 2 corresponde a 2! (lê-se 2 fatorial), sendo assim 2! = 2 . 1 = 2. Veja abaixo o fatorial de outros números inteiros:
• 3! = 3 . 2 . 1 = 6
• 4! = 4. 3 . 2 . 1 = 24
• 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
• 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
• 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040
• 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
• 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880
• 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
Atenção! 0! = 1 e 1! = 1
Fatorial e análise combinatória
Você já deve ter notado que os números fatoriais relacionam-se com a análise combinatória - ramo da matemática que estuda as técnicas e os métodos da contagem-, isso porque ambos compreendem a multiplicação de números consecutivos.
O princípio da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, sustenta que:
"Um evento que acontece em n situações independentes e sucessivas. A primeira situação ocorreu de z1 maneiras, a segunda em z2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação, que ocorreu de zn maneiras. O número total de ocorrências será dado pelo produto de z1. z2 ... zn."
Contudo, esse princípio não é adequado para alguns problemas matemáticos que envolvem contagem. Por isso existem outras técnicas para facilitar a resolução desses problemas. Confira abaixo os três tipos de análise combinatória:
- Arranjo: cada conjunto se difere pela ordem dos elementos ou pela natureza dos mesmos. O cálculo de um arranjo é realizado a partir da seguinte fórmula:
A n,p = n!/ (n – p)!
Sendo,
A = arranjo
n = número total de elementos
p = número de elementos de cada grupo
- Permutação: a partir dessa técnica especial de arranjo é possível saber de quantas maneiras pode-se ordenar “n” objetos em “n” posições. O cálculo de uma permutação simples é realizado a partir da fórmula:
Pn = n!
- Combinações: esses subconjuntos são caracterizadas pela natureza dos elementos, não levando em consideração o ordenamento dos mesmo. O cálculo de uma combinação simples é realizado a partir da fórmula:
C n,p = n!/ p! (n – p)!
Sendo,
C: combinação
n: número total de elementos
p: número de elementos de cada grupo
Os números fatoriais relacionam-se com os tipos de combinatória. (Foto: Wikipédia)
Operações matemáticas com fatoriais
As quatro operações matemáticas podem ser aplicadas aos números fatoriais, mas para solucioná-las é preciso conhecer algumas regras. Confira abaixo:
- Adição e subtração: para solucionar essas duas operações é preciso resolver os fatoriais para depois somar ou subtrair as parcelas. Exemplo:
a) 5! - 3!
(5 . 4 . 3 . 2 . 1) – (3 . 2 . 1)
120 – 6 = 114
b) 2! + 5!
(2 . 1) + (5 . 4 . 3 . 2 . 1)
2 + 120 = 122
- Multiplicação: segue o mesmo princípio das operações anteriores, antes de tudo é preciso resolver os fatoriais para depois realizar a multiplicação. Exemplo:
a) 0! . 5!
1 . (5. 4 . 3 . 2 . 1)
1 . 120 = 120
b) 3! . 1!
(3 . 2 . 1) . (1)
6 . 1 = 6
- Divisão: se necessário, nesse tipo de operação é possível realizar a simplificação dos fatoriais. Exemplo:
a) 16!/ 15!
16. 15!/ 15! =16
b) 4!/ 3!
4 . 3!/ 3! = 4
Equações
Alguns problemas matemáticos podem envolver números fatoriais. Para solucionar equações também é preciso resolver os fatoriais. Exemplo:
a) (2x – 3)! = 120
(2x - 3)! = 5!
2x - 3 = 5
2x = 8
x = 4
b) x – 10 = 4!
X – 10 = (4. 3. 2. 1)
x – 10 = 24
x = 24+10
x = 34