Entenda como funcionam cada uma delas
As fórmulas trigonométricas baseiam-se nas relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo – figura geométrica plana com ângulo de referência igual a 90°. Essa categoria de triângulo possui três lados que atuam de acordo com a localização do ângulo reto.
Representação gráfica do triângulo retângulo. (Foto: Guia Enem)
- Hipotenusa: lado de maior tamanho e oposto ao ângulo reto.
- Catetos: lados que compõem o ângulo reto (90°). Quando estão próximos ao ângulo de referência são chamados de adjacentes; mas quando aparecem em sentido contrário, são classificados de opostos.
Relações trigonométricas
As relações ou razões trigonométricas analisam a funcionalidade dos ângulos e medidas do triângulo retângulo. Os estudos são feitos de acordo com as seguintes definições:
• Seno (sen): razão entre os lados que formam um dos ângulos agudos (menor que 90°).
• Cosseno (cos): razão entre o valor do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.
• Tangente (tg): razão entre o seno e o cosseno de um dado ângulo ou entre os catetos.
• Cotangente (cot): dado pela razão entre os catetos.
• Secante (sec): razão entre os lados que formam o ângulo agudo.
• Cossecante (csc): também é dado pela razão entre os lados que formam um dos ângulos agudos.
As relações, aliadas ao Teorema de Pitágoras, originam a fórmula fundamental da Trigonometria, isto é:
sen²(a) + cos²(a) = 1 ou (sen a + cos a)² = 1
O método afirma que a soma dos quadrados do seno e cosseno de um determinado ângulo é igual a 1. Além disso, que o quadrado de um número negativo é igual ao quadrado do seu simétrico.
Através dos elementos da fórmula fundamental é possível determinar a secundária. Para tal, basta dividir os termos da relação fundamental pelo sen²(a):
sen²(a) / sen²(a) + cos²(a) / sen²(a) = 1 / sen²(a) ou 1 + cot² (a) = csc²(a)
Quando a divisão é feita com o cos²(a), conclui-se que sen²a - tg²a = 1
Soma e Subtração de Arcos
Conhecendo-se as relações trigonométricas dentro de dois arcos (a e b), as operações de soma e subtração podem ser efetuadas a partir de algumas fórmulas. Confira:
Seno da soma e subtração entre arcos:
sen(a + b) = sen(a) . cos(b) + sen(a). cos(b)
sen(a - b) = sen(a) . cos(b) - sen(a). cos(b)
Cosseno da soma e subtração entre arcos:
cos(a + b) = cos(a). cos(b) - sen(a). sen(b)
cos(a - b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b)
Tangente da soma e subtração entre arcos:
tg(a+b) = sen(a) . cos(b) + sen(a). cos(b) / cos(a). cos(b) – sen(a). sen(b)
tg(a+b) = tg(a) + tg(b) / 1 - tg(a) . tg(b)
tg(a-b) = tg(a) - tg(b) / 1 + tg(a) . tg(b)
Arco Duplo
Representação gráfica do círculo trigonométrico. (Foto: Educa Mais Brasil)
O arco é definido como duplo (2a) quando faz parte do círculo trigonométrico. Sendo assim, os cálculos de seno, cosseno e tangente são realizados pela substituição dos valores de b em a (b = a), ou seja:
sen(2a) = 2. sen(a) . cos(a)
cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)
tg(2a) = 2 tg(a) / 1 – tg²(a)
Fórmulas trigonométricas: multiplicação
A multiplicação do seno, cosseno e tangente do arco duplo é nomeada de transformação trigonométrica. Entenda como é feito:
Seno
Caso a e b sejam ângulos, o seno dos dois arcos é:
sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b) . cos(a)
Como b = a, então a+ b = 2a
Substituindo:
sen(2a) = sen(a) . cos(a) + sen(a) . cos(a)
sen(2a) = 2sen(a) . cos(a)
Observa-se que a fórmula da multiplicação com ângulos é a mesma da soma do seno. Logo, a escolha entre uma delas implicará em um mesmo resultado.
Cosseno
Existem dois caminhos para determinar o cosseno do arco duplo. São eles:
sen(2a) = 1 - cos(2a)
cos(2a) = 1 - 2. sen(2a)
Tangente
Os cálculos da tangente dependem dos ângulos que compõem o arco duplo. Eles devem ser maiores ou menores que 90°.
tg(a+b) = tg(a) + tg(b) / 1 - tg(a) . tg(b)
Como a = b, teremos:
tg(2a) = 2. tg(a) / 1 – tg²(a)