Toda função polinomial de expoente igual a 1
A função afim, definida pela formação f(x) = ax + b ou y = ax + b, é classificada como função de primeiro grau, sendo os coeficientes a e b números reais e diferentes de zero. Como o grau de uma função é decidido pela maior potência da variável independente (x), no caso da função afim o expoente também é igual a 1 (x¹).
Nesse tipo de função polinomial de primeiro grau o valor de "a" é chamado de taxa de variação ou coeficiente angular, e o "b" de valor inicial ou coeficiente linear.
F(x) = 2x + 7 (a = 2 e b = 7); y = - 4x (a = - 4 e b = 0) e f(x) = 1/5x + 1/8 (a = 1/5 e b = 1/8) são exemplos de função afim.
Gráfico da Função Afim
O gráfico da função afim é representado por uma reta. O valor da taxa de variação da função que determina se a ela é do tipo crescente ou decrescente.
• Caso a seja maior que zero, a função é crescente;
• Caso a seja menor que zero, a função é decrescente;
• Se a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será agudo (menor que 90°);
• Se a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será obtuso (maior que 90°).
A função 2x – 1, por exemplo, é crescente, pois o valor de a = 2 (maior que zero). Já - x + 4 é vista como decrescente porque o valor de a = - 1 (menor que zero). Observe nos gráficos abaixo:
Gráfico da função crescente. ( Foto: Educa Mais Brasil)
Gráfico da função decrescente. ( Foto: Educa Mais Brasil)
É necessário determinar dois pontos para traçar a reta do gráfico: pela raiz da função e substituição do x pelo valor de zero (y = b):
f(x) = ax + b
f(x) = a . 0 + b
y = b
y = b
Raiz
A raiz de uma função afim é o ponto que corta o eixo x (abscissa), isto é, no período em que y = 0. Com isso, basta substituir o valor de y por 0 que a raiz será definida.
f(x) = ax + b
0 = ax + b
ax = -b
x = -b/a
As funções de primeiro grau possuem somente uma raiz e, como já sabemos, duas coordenadas (b, -b/a).
Coeficientes da Função Afim
Em f(x)= ax +b, o valor de a é identificado como taxa de variação (crescimento) ou de coeficiente angular porque aponta o quanto a função pode crescer e a inclinação da reta em relação ao eixo da abscissa (x) no plano cartesiano.
Já o termo b, que é constante, é identificado como coeficiente linear da função porque define o ponto onde a reta corta o eixo y do gráfico quando x = 0. Em f(x) = 3x + 10 a função irá cortar o eixo das ordenadas (y) no ponto (0,10), pois f(0) = 3.0+10 = 10.
Categorias da Função Afim
Existem três classificações da função afim: linear, identidade e constante. Entenda as características de cada uma delas.
Constante
Uma função afim é considerada como constante se f(x) = b, isto é, quando o coeficiente angular é igual a zero. Nessa categoria o gráfico apresentará uma reta paralela ao eixo da abscissa (x), cortando o y no ponto b.
Dado f(x) = 2x + 3, o gráfico será interceptado no eixo 3, pois:
f(x) = 2.0+3
f(x) = 3
Exemplo de gráfico constante. (Foto: Educa Mais Brasil)
Identidade
Uma função afim se enquadra como identidade se f(x) = x, ou seja, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0). Nessas situações a reta passará pela origem (0,0).
A semirreta que separa o ângulo em dois de mesmo tamanho é chamada de bissetriz. Ela também é identificada como reta dos quadrantes ímpares (1° e 3°).
Exemplo de gráfico identidade. (Foto: Educa Mais Brasil)
Linear
Uma função afim é considerada como linear se f(x) = ax, sendo o coeficiente angular diferente de zero e o coeficiente linear igual a zero (b = 0). Nesses casos a reta passará pela origem (0,0).
As funções f(x) = 2x; f(x) = - 6x ou f(x) = 1/3 são lineares. No gráfico abaixo temos a representação do primeiro exemplo:
Exemplo de gráfico linear. (Foto: Educa Mais Brasil)