Associa elementos de duas funções diferentes
A função bijetora, também chamada de bijetiva, é um tipo específico de função que relaciona elementos entre duas funções diferentes. Elas são compostas pela mesma quantidade de elementos, sendo alguns deles comuns entre si.
A função bijetora recebe esse nome por ter características, ao mesmo tempo, de função injetora e função sobrejetora.
Dada uma função cujos elementos representam o conjunto formado pelos números {-1, 0, 1, 2}, chamado de domínio, o contradomínio tem os seguintes componentes numéricos: {4, 0, -4, -8}. Neste exemplo, a imagem é determinada pela expressão Im (f) = {4, 0, -4, -8}.
Definição de função bijetora
A função bijetiva é um tipo de função que reúne características de outros dois tipos de função: a sobrejetora e a injetora. Portanto, uma função é bijetora quando é sobrejetora e injetora, simultaneamente. Ou seja, as definições de injeção e sobrejeção funcionam para as mesmas funções, podendo ser chamadas de bijetivas.
Aplicação através de exemplos:
• F : R <> R definida pela lei f(x) = 3x + 1, pode-se afirmar que esta é uma função bijetora, pois:
Sendo x1 e x2 pertencentes a R, então diz-se que:
3(X1) + 1 diferente de 3(X2) – 1 <> f (X1) sendo diferente de f(X2)
Portanto, a função “ f ” é injetiva.
• Dado Y pertencente ao conjunto R, e X corresponde também ao conjunto R, onde f(x) = y. A partir daí, conclui-se que:
3x + 1 = y <> X = y-1/3
Atenção!
Para qualquer valor de Y na igualdade representada acima existirá também um valor real de X que satisfaça a condição de função sobrejetora. Portanto, a função f (x)= 3x=1 atende às exigências das operações matemáticas e deve ser considerada bijetora.
Algumas funções matemáticas não poderão, em nenhuma hipótese, ser consideradas injetivas e sobrejetivas pois suas aplicações não atendem aos requisitos em ambos os casos.
Classificação de funções
As operações matemáticas, de modo geral, possuem algumas classificações. No estudo das funções também. Por isso, vale relembrar as definição e seus usos. Veja:
Uma função (f) é uma relação entre dois grupos distintos denominados A e B e, por meio de regras, é possível associar cada elemento do conjunto "A" a um único elemento do segundo grupo, o B. Ou seja, em linguagem matemática escreve-se f: A <> B (lê-se f de A em B).
O conjunto A recebe o nome de domínio da função, enquanto o conjunto é denominado de contradomínio. Importante perceber que existe diferença entre f e o f(x). O "f" é a função propriamente dita. Já o "f(x)" é o valor da função em determinado ponto X dentro do seu domínio. Portanto, para cada valor de X pertencente ao domínio A existe apenas um valor de Y, ou f (X), correlacionado ao contradomínio.
Funções injetora e sobrejetora
• Também chamada de injetiva e biunívoca, a função injetora ocorre quando elementos divergentes do domínio A possuem imagens distintas no contradomínio B. Entenda através de exemplos:
Avaliando a função f: R <> R definida como f(x) = x² + 1, percebe-se que ela não é injetora, visto que há dois elementos distintos em R que não atendem aos requisitos de injeção.
Se x = 1 <> f (1) = (1)² + 1 = 1+1 =2
Se x = -1 <> f (-1) = (-1)² + 1= 1 + 1 = 2
Entende-se, neste caso, que se dois valores diferentes de x resultam em um mesmo número para Y não havendo possibilidade de ser uma função injetora.
• É dita sobrejetora, sobrejetiva ou sobrejeção toda função em que dois valores diferentes de x resultar em um mesmo valor para Y.
Percebe-se a correlação através das aplicações matemáticas: são considerados ao conjuntos A= { a, b, c, d} e B= {x, y, z}. A aplicação é sobrejetora de A em B:
f= { (a, x); (b,y); (c,y); (d,z)}
Dada a função f:Z <> Z representada pela expressão f(x) = x+1. Nesta aplicação, o conjunto imagem é igual ao seu contradomínio, portanto, Im (f)=Z.
Atenção! Para qualquer valor de x, o seu valor correspondente em y também é um número inteiro, caracterizando uma função sobrejetora.