Equação para determinar o valor da variável independente (x)
A função de primeiro grau ou função afim é uma norma matemática que relaciona as variáveis de uma equação, ou seja, a dependência de um elemento em relação ao outro. Por isso, a função de primeiro grau é utilizada para definir a relação entre as variáveis x e y. Isso porque para cada valor dado a x, determinará o de y. O seu valor sempre dependerá de x.
O conjunto de valores determinados para x é conhecido por domínio e para os de y como imagem (contradomínio). Já as variáveis x e y são chamados, respectivamente, de variável independente e variável dependente. Sendo assim, a função afim é definida pela seguinte fórmula:
y = ax + b ou f(x) = ax +b
Os elementos a e b pertencem a classe dos números reais, sendo o "a" diferente de zero. Essa equação é definida como de primeiro grau, pois a maior potência da variável x é igual a 1 (x¹). Isso ocorre porque o grau de uma função é dado pelo maior expoente que a variável assume. Isto é, se tiver expoente 1 é identificada como de primeiro grau. Se tiver expoente 2 é identificada como função de segundo grau.
Exemplos de função de primeiro grau
A função de primeiro grau – que também é nomeada de função polinomial – é escrita por y = ax + b, sendo que o número a é nomeado de coeficiente de x e b de termo constante. Vejamos:
y= 5x + 7 ( a = 5 e b = 7)
y = - 4x + 20 ( a = - 4 e b = 20)
y = 8x ( a= 8 e b = 0)
Embora o sinal do segundo exemplo seja negativo, a função não deixa de ser do primeiro grau. Já para as equações em que o b não está inscrito na fórmula, o seu valor sempre será igual a zero.
Resoluções
O principal objetivo de uma função de primeiro grau é especificar o valor da variável desconhecida, ou seja, da incógnita. Elas podem ser representadas por qualquer letra do alfabeto, entretanto as mais aplicadas são x, y e z. Assim:
y = ax + b
20 = 3x + 5
20 – 5 = 3x
15 = 3x
x = 15/3
x = 5
De acordo com os conceitos matemáticos, quando um número da equação passa para o outro lado do sinal de igual, deve-se inverter a operação. Ou seja, se tiver subtraindo, mudará somando. Se tiver multiplicando, mudará dividindo e vice- versa.
No exemplo acima, ao mudar o número 5 para depois do sinal de igual, ele passou para subtrair o valor de y (20). Já o 3, que multiplica o x, mudou para dividir o resultado da subtração de y.
As expressões em que a variável x é negativa, deve-se multiplicar todos os componentes da equação por - 1:
y = ax + b
12 = - 2x + 10
12 = - 2x + 10 . (- 1)
- 12 = 2x - 10
- 12 + 10 = 2x
- 2 = 2x
x = - 2/ 2
x = - 1
Gráfico da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é caracterizada nos gráficos por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo dos valores do coeficiente angular (a) e do ponto de intersecção com o eixo y do plano cartesiano (b).
Função crescente
Quando a for maior que zero (a > 0), a função será positiva e, consequentemente, crescente. Isso acontece porque à medida que os valores de x aumentam, os de y também crescem.
No processo de construção do gráfico, deve-se determinar valores reais de x para encontrar os de y. Entenda no plano cartesiano da função y = 2x – 1 (a = 2 e b = - 1). Na tabela a seguir atribuímos os valores de x = 1 e x = 2:
| y = 2x-1 | y | Par ordenado (x,y) |
X = 1 | y = (2.1) - 1 | 1 | (1, 1) |
X = 2 | y= (2.2) - 1 | 3 | (2, 3) |
O eixo horizontal corresponde aos valores de x e no vertical os de y. (Foto: Educa Mais Brasil)
Função decrescente
Quando a for menor que zero (a < 0), a função será negativa e decrescente. Isso acontece porque nos momentos em que os valores de x aumentam, os de y diminuem.
Veja no gráfico da função y = - x + 4 (a = -1 e b = 4):
| y = - x + 4 | y | Par ordenado (x, y) |
X= - 2 | y = - ( - 2) + 4 | 6 | (-2, 6) |
X = 1 | y = - ( 1) + 4 | 3 | (1, 3) |
Gráfico da função decrescente. (Foto: Educa Mais Brasil)
O gráfico da função de segundo grau também apresenta outras propriedades:
• Nos momentos em que a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será menor que 90° (agudo);
• Nos momentos em que a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será maior que 90° (obtuso);
• Apenas um ponto corta o eixo x, a raiz da função. Para determiná-la basta considerar y = 0;
• Somente um ponto corta o eixo y, o valor de b.