Função onde a variável está no expoente
A função exponencial representa uma relação de dependência. Nesse tipo de operação matemática existe uma variável (incógnita) no expoente e o número real (maior que zero e diferente de um) na base. Tal função, é explicitada da seguinte forma: f: R-->R tal que y = aˣ, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Confira abaixo alguns exemplos de funções exponenciais:
y = 7ˣ + 1
y = 2ˣ + 2
y = 0,5ˣ
y = 3ˣ
y = 2ˣ + 2
y = 0,5ˣ
y = 3ˣ
Quanto a seu uso, a função exponencial pode auxiliar na realização de diversos cálculos, por exemplo: crescimento populacional, evolução de capital por juros compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias em uma colônia, etc.
Mas afinal, o que é uma função?
Função, em matemática, é definida pela relação entre um conjunto A e um conjunto B, denotada pela expressão f: A --> B (lê-se f de A em B). Nessa relação, f é o nome da função, A é o domínio, B o contradomínio e y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B.
De acordo com suas características, as funções matemáticas podem ser classificadas como: função exponencial, função trigonométrica, função afim, função modular, função quadrática, função logarítmica, entre outras.
A função exponencial se diferencia de outra comum pelo fato da incógnita estar localizada no expoente. Na função exponencial, a base “a”, que será elevada ao expoente “x”, sempre será maior que zero e diferente de um.
Propriedades da função exponencial
As funções exponenciais possuem algumas propriedades relacionadas à potenciação, além de características que ajudam na realização de cálculos. Confira abaixo:
1ª propriedade: se x = 0, logo f(x) = 1
Essa propriedade abrange noções de potenciação, onde todo número elevado a 0 é igual a 1. Observe a função f(x) = 3ˣ, onde que x = 0:
f(x) = 3ˣ
f(0) = 3⁰
f(0) = 1
2ª propriedade: se a > 1, a função será crescente
Uma função é caracterizada como crescente, se aˣ¹ < aˣ² e, sempre, que a >1, independentemente do valor de x. Observe a função f(x) = 2ˣ, onde a = 2 e como a função é crescente teremos x₁ = 1 e x₂ = 2:
aˣ¹ < aˣ²
2¹ < 2²
2 < 4
aˣ¹ < aˣ²
2¹ < 2²
2 < 4
3ª propriedade: se 0 < a < 1, a função será decrescente
Essa propriedade é parecida com a anterior, mas a expressão x₁ < x₂ e 0 < a < 1, origina aˣ¹ > aˣ². Observe o exemplo da função f(x) = 0,5x, em que a = 0,5 e como a função é decrescente teremos x₁ = 1 e x₂ = 2.
x₁ < x₂
aˣ¹ > aˣ²
0,5¹ > 0,5²
0,5 > 0,25
4ª propriedade: sempre que x₁ = x₂, aˣ¹ = aˣ²
Todas as vezes que houver um sinal de igual entre as potências, os expoentes também devem apresentar o mesmo resultado. Observe a função f(x) = 7x, onde f(x₁) = 49 e f(x₂) = 49:
f(x₁) = f(x₂)
aˣ¹ = aˣ²
7ˣ¹ = 7ˣ²
Como o resultado das duas potências é igual a 49, x₁ e x₂ devem ser:
x₁ = x₂ = 2
Gráfico da função exponencial
A função exponencial pode ser representada através de um gráfico traçado a partir de pontos no plano cartesiano. Como nesse tipo de função a base é maior que 0, a imagem será positiva e não existirão pontos nos quadrantes III e IV - que caracterizam uma imagem negativa.
Este gráfico sempre estará abaixo do eixo x no plano cartesiano. Deste modo, quando a função é decrescente, os valores de y aproximam-se de zero na medida que o valor de x cresce. Já na função crescente, se x cresce y também cresce.
Para construir o gráfico da função é necessário atribuir valores para x e montar uma tabela com os respectivos valores de f(x), marcando os pontos no plano cartesiano e, por fim, traçar a curva do gráfico.
Observe abaixo os gráficos das funções crescente e decrescente:
Gráfico da função crescente. (Foto: Educa Mais Brasil)
Gráfico da função decrescente. (Foto: Educa Mais Brasil)