Regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único componente de outro
A função injetora, também conhecida de função injetiva, transforma os diferentes elementos do domínio (conjunto A) em distintos elementos do contradomínio, ou seja, é a função em que cada componente do contradomínio (imagem) está associado a um único membro do domínio.
No geral, o papel das funções matemáticas é relacionar cada elemento de um conjunto numérico (domínio) a um único componente de outro conjunto (contradomínio). Em outras palavras, dado um elemento qualquer dentro de um conjunto A, esse mesmo elemento será ligado a outro do conjunto B por meio da função.
Exemplo de função injetora. (Foto: Educa Mais Brasil)
Características da função injetora
A depender do contradomínio, algumas funções podem ser ou não injetoras. Além disso, as propriedades que as definem são:
• Um função é injetiva quando os valores de x dentro do conjunto A são diferentes e as imagens do contradomínio (conjunto B) também.
• Caso os valores do domínio e das imagens do contradomínio sejam iguais a função é injetora.
• A função identidade também é injetora, pois para qualquer valor que seja x o resultado da sua função será ele mesmo (f(x) = x). Logo, cada elemento da imagem estará relacionado a um elemento do domínio.
• As funções de segundo grau não são injetoras, o contrário das de primeiro.
• Quando A é subconjunto de B, no qual i (x) = x, a função é injetiva.
Aplicação
Descobre-se uma função injetora ao definirmos dois valores diferentes para x, de forma que a imagem seja distinta.
Dado f(x) = x² + 1, vamos determinar x = 2 e x = - 2
f(2) = 2² + 1 = 4 +1 = 5
f(-2) = -2² + 1 = 4 + 1 = 5
Observa-se que essa função não é injetora, pois para cada valor distinto de x obtivemos o mesmo resultado em y, isto é, f (2) = f(-2).
Representação de uma função não injetiva. (Foto: Educa Mais Brasil)
Seja f(x) = 3x, temos:
x = 2 e x = - 2
f(2) = 3. 2 = 6
f(-2) = 3.(-2) = - 6
Representação de uma função injetora. (Foto: Educa Mais Brasil)
Já a função do exemplo acima é classificada de injetora, visto que os valores de x deram origem a imagens do contradomínio diferentes.
Gráfico da função injetora
O gráfico de uma função injetiva pode ser crescente ou decrescente. No entanto, uma reta precisa cruzar apenas em um dos seus pontos. Isso ocorre porque, como já vimos, os diferentes elementos do conjunto A apresentam imagens distintas em B.
Dentro desse contexto, se traçarmos linhas horizontais no eixo x e estas interceptarem o eixo y em mais de um ponto, saberemos que a função não é injetora. Vejamos nos exemplos:
Representação geométrica da função injetora. (Foto: Educa Mais Brasil)
Como na representação acima cada linha paralela toca o gráfico uma única vez, esta função é injetiva.
Já no próximo gráfico a função não é injetora, uma vez que os diferentes valores do domínio ligam-se a uma mesma imagem. Dessa maneira, as linhas cruzam o gráfico em mais de um ponto da reta.
Representação geométrica de uma função não injetora. (Foto: Educa Mais Brasil)
Categorias das funções
Além da função injetora, existem duas categorias que definem uma função:
Função Sobrejetora: quando todos os elementos do conjunto B são imagens do domínio (conjunto de partida), isto é, a imagem é igual ao contradomínio. Na relação entre os conjuntos não sobra elementos do domínio sem associações com os números do outro conjunto.
Função Bijetora: é uma função sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, no qual os elementos de um conjunto estão ligados aos membros do outro, e a imagem é igual ao conjunto dos números reais.