Também conhecida como função invertível
A função inversa, também denominada de invertível, indica uma função bijetora – injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Denotada por f-¹, essa função desfaz a operação executada pela função f.
Uma das principais características da função inversa é a capacidade de criar funções a partir de outras. Isso acontece porque os elementos de uma dada função podem ser invertidos. Confira o exemplo abaixo:
Função inversa. (Foto: Educa Mais Brasil)
Matematicamente a imagem acima significa que: sendo f: A --> B uma função bijetora, com domínio A e imagem B. A função inversa f-1 é a função f-1: B --> A, com domínio B e imagem A.
Mas antes de continuarmos falando sobre função inversa e suas características, que tal relembrarmos o que é uma função?
Definindo uma função
Em matemática, uma função é definida pela relação entre um conjunto A e um conjunto B, expressa como f: A --> B (lê-se f de A em B). Cada um desses elementos indica:
• f é o nome da função
• A é chamado de domínio
• B é chamado de contradomínio
• y = f(x) indica a lei de correspondência dos elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B.
O domínio (D) de uma função é caracterizado como o conjunto de partida ou de forma simplificada “de onde partem as flechas”. A imagem (Im) representa todos os elementos atingidos pelas flechas do domínio.
Já o contradomínio (Cd) é o conjunto de chegada, ou seja, os elementos que as flechas podem acertar. Mas atenção! Nem todos os elementos do conjunto B precisam ser utilizados para que a função tenha validade. Para a relação entre conjuntos ser considerada uma função, todos os elementos do conjunto A devem estar associados a algum elemento do conjunto B.
Função bijetora
Como já dito, a função inversa é um tipo de função bijetora. Esta última, admite que os elementos de uma função A possuam equivalentes na função B, além disso, ambos os conjuntos apresentam a mesma quantidade de elementos.
É importante relembrar que a função bijetora possui características de outras funções:
• Função sobrejetora ou sobrejetiva: todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem, ou seja, a imagem é igual ao contradomínio.
• Função injetora ou injetiva: cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem. Deste modo, dois elementos não podem ter a mesma imagem.
Exemplificação da função inversa
Observe abaixo o diagrama dos conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-16, -2,0, 2, 16}, cuja função (seta preta) é indicada por f: A --> B:
Exemplo de função inversa. (Foto: Educa Mais Brasil)
A imagem acima permite visualizar a função inversa (seta azul), indicada por f-¹: B --> A. Dito isso, podemos fazer as seguintes observações:
• O domínio de f corresponde a imagem de f-¹;
• A imagem de f é igual ao domínio de f-¹;
• Na função f o -2 é “levado” ao -16, enquanto na inversa f-¹, -16 “traz de volta” -2, invertendo o efeito de f sobre -2;
• Quando executado o f e o f-¹ a qualquer número, obtemos esse número de volta.
Gráfico da função inversa
Nos gráficos de uma função (f) e a sua inversa (f-¹) são formados curvas simétricas em relação à reta y = x, bem como os seus pontos são equidistantes Observe o exemplo abaixo:
Gráfico da função inversa. (Foto: Educa Mais Brasil)
Aplicação
Dada a função f(x) = x + 5, a inversa é obtida com a troca das variáveis x e y na expressão e isolamento de x na sentença y= f(x). Observe:
y = x + 5
x = y + 5
-y = -x + 5
Y = x – 5 (função inversa)
Em mais um exemplo, vamos calcular a inversa da função y = 2x – 1. Observe:
y = 2x -1
x = 2y - 1
-2y = -x - 1
y = x + 1/ 2 (função inversa)