Apresenta em seu domínio todos os números reais positivos
A função logarítmica é dada pela lei f(x) = logax, no qual "a" é a base positiva (a > 0) e sempre diferente de 1. Nesse tipo de função, o logaritmo de base "a'', ligado a determinado valor de b, tem o expoente igual a x, que é a potência da base que resulta justamente em b. Isto é:
Lei de formação.
Vejamos alguns exemplos:
f(x) = log3 x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log10 x
f(x) = log0,5 x
De modo geral, a função na forma (x) = logax segue as regras:
• A base do logaritmo sempre é diferente de 1 e maior do que 0 (0 < a ≠ 1);
• O valor de x deve ser um número real positivo, exceto o zero (x > 0).
Domínio da função logarítmica
Como dito acima, a função logarítmica é definida pela formação f(x) = logax, sendo < a ≠ 1. Isso remete a uma função f: R*+ ---> R, ou seja, o domínio integra o conjunto dos números reais positivos, excluindo o zero. (R*+).
É o domínio da função que delimita os valores aplicados em x para os cálculos do f(x), que na matemática é chamado de imagem. No caso da função logarítmica, a situação de existência depende do sinal positivo de x e a necessidade da base também ser positiva, mas diferente de 1.
Vejamos como o domínio é encontrado no exemplo da função f(x) = log(x – 2):
O primeiro passo é determinar (x – 2) > 0, pois é uma das condições de existência do logaritmo. Em seguida, basta resolver a inequação:
x – 2 > 0
x > 2
Portanto, o domínio dessa função é D = {x ∈ R | x > 2}.
Gráfico
O gráfico da função logarítmica é uma curva, construída em razão dos valores aplicados em x e os respectivos resultados calculados para f (x).
As coordenadas são colocadas dentro do plano cartesiano nos quadrantes I e II, pois essa função é caracterizada por x > 0. Além disso, a depender da base "a", são classificadas em crescente e decrescente.
Função crescente
Caso a base a seja maior que 1 (x1 < x2 <---> loga x1 < loga x2), a função logarítmica é dita como crescente, já que à medida que x aumenta acontece o mesmo com o f(x). É uma curva que cresce em virtude do aumento de x.
Quando estipulamos valores reais positivos para x e encontramos imagens, que podem ser todos os tipos de reais, inclusive os negativos, o gráfico crescente é da seguinte forma:
Gráfico da função logarítmica crescente. (Foto: Educa Mais Brasil)
Função decrescente
Se a base for 0 < a < 1, a função é decrescente em todo o seu domínio (x1 < x2<--->loga x1 > loga x2). Isso ocorre porque à medida que x aumenta, a imagem diminui. Essa relação inversamente proporcional origina a seguinte representação gráfica:
Gráfico da função logarítmica decrescente. (Foto: Educa Mais Brasil)
Atenção! Independente do sentido, a curva da função nunca toca o eixo das ordenadas (y), mas sempre passa pelo o eixo das abscissas (x) no ponto (1,0).
Características gerais
De forma resumida, a função logarítmica é:
• Injetora e sobrejetora;
• Crescente para a > 1;
• Decrescente para 0 < a < 1;
• O domínio são todos os reais positivos;
• Apresenta na imagem todos os números reais;
Função inversa
A função logarítmica é inversa da função exponencial. Esta última representa a relação de dependência entre um número real, que precisa ser maior que 0 e diferente de 1, e a variável no expoente (x).
A exponencial é dada pela lei f: R--->R com a > 0 e ≠ 1. Os valores da sua base sempre são maiores que zero e, consequentemente, as imagens da função são positivas. No que tange à representação gráfica, não existem pontos no 3° e 4° quadrantes do plano cartesiano, já que o número real não pode ser menor que zero (a > 0).
Em razão da simetria na bissetriz dos quadrantes ímpares – reta que divide o ângulo dos quadrantes I e III em dois de mesma medida – é possível determinar o gráfico da função logarítmica através do gráfico da exponencial.