Função que utiliza módulos
Uma função modular apresenta o módulo na sua lei de formação. Isso significa que o módulo ou valor absoluto de um número real x, representado por |x| é dado pela função f(x) = | x |, nas condições que: x, se x maior ou igual 0 e -x, se x menor que 0.
Confira abaixo algumas operações que envolvem módulos:
1 + |5| = 1 + 5 = 6
|5| - 4 = 5 - 4 = 1
|-2| . |-6| = -(-2) . -(-6) = 2. 6 = 12
Antes de dar continuidade da explicação sobre função modular, você sabe o que é um módulo? Saiba mais abaixo.
O módulo
Esse elemento algébrico surgiu a partir da necessidade de medir a distância de um número negativo até o 0 (zero), mas como usualmente não dizemos que uma distância é negativa, o modulo de número real foi criado para tornar o valor desse número positivo ou nulo.
Na imagem abaixo há uma reta numérica que destaca os números -3 e 3, o ponto 0 (zero) é denominado de origem. A distância entre cada número da reta corresponde a uma unidade. Do número o – 3 ao zero são três unidades, do mesmo modo que do +3 ao zero são três unidades.
Reta numérica. (Foto: Educa Mais Brasil)
Dito isso, o módulo é caracterizado como essa distância que vai de um número qualquer até o zero. Ele ainda possui algumas propriedades básicas:
• O módulo de um número real não negativo é o próprio número;
• O módulo de um número real negativo é o oposto do número.
Traduzindo. Quando x é maior ou igual a zero (número positivo), o seu módulo será igual ao próprio número. Contudo, se x for menor que zero ou um número negativo, o seu módulo será o inverso dele, no caso -x.
Já sabemos que se um número é igual a zero ou é positivo, o resultado do seu módulo é o próprio valor. Mas quando o número é menor que zero? Para realizar esse cálculo modular é necessário multiplicar o número por “-“ou “-1” para então achar o seu oposto.
Veja abaixo alguns exemplos com módulos negativos:
-17| = 17
- 7 +2| = |-5| = 5
-8 + 6| = |-2| = 2
Função
De modo simplificado, as funções matemáticas representam a reação que existe entre um conjunto A e um conjunto B, expressa como f: A --> B (lê-se f de A em B). Essa relação é formada por alguns elementos:
• f é o nome da função
• A é chamado de domínio
• B é chamado de contradomínio
• y = f(x) é a lei que expressa a relação entre os elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B
O domínio (D) de uma função corresponde ao conjunto de partida, ou seja, todos os elementos do conjunto A. Enquanto a imagem (Im) representa todos os elementos atingidos pelas flechas originárias do domínio.
Já o contradomínio (Cd) representa B, o conjunto de chegada. Mas atenção! Para que um função seja válida, nem todos os elementos do conjunto B precisam ser utilizados. Ficou com dúvidas? É só consultar o artigo de funções matemáticas.
Função modular
A função modular é expressa como f: R --> R, ou seja, o domínio e o contradomínio são formados por elementos do conjunto dos números reais (números positivos, negativos, frações, fracionários, raízes e outros).
A definição de módulo relaciona-se com a da função modular. Perceba: quando x for positivo ou igual a zero, o valor da imagem será a mesma dele. Contudo, se x for negativo ou menor que zero, o valor da imagem ainda a mesma no módulo, mas com o sinal invertido ao valor de x.
Em síntese, se dada uma função f(x) = |x|, então:
f(x) = x, se x > 0
f(x) = x, se x = 0
f(x) = -x, se x <0
Gráfico da função modular
O gráfico da função modular f(x) = |x| é construído como o de qualquer outra função. O primeiro passo é montar uma tabela e determinar valores para x e y ou f(x). Para x vamos utilizar –2, –1, 0, 1 e 2.
Tabela f(x) = |x|. (Foto: Educa Mais Brasil)
Ao analisar a tabela, os valores de x, quando positivos e iguais a zero se mantiveram em y. Mas os valores negativos de x, em y adquiriram o sinal oposto. Os pares ordenados, dentro do plano cartesiano formar o seguinte gráfico:
Gráfico da função modular. (Foto: Educa Mais Brasil)