Conhecendo os polinômios
A função polinomial é aquela que é definida por uma expressão polinomial. Elas são representadas pela expressão:
Expressão polinomial.
Observe que, além dos termos e coeficientes, temos na expressão:
n: número inteiro positivo ou nulo
x: variável
As funções polinomiais também podem ser chamadas de polinômios, já que cada uma das funções está ligada a um único polinômio.
Como fazer operações polinomiais?
É preciso entender algumas regrinhas para resolver as operações com polinômios, baseando-se nos procedimentos algébricos. Na adição e subtração, por exemplo, reduzem-se os termos semelhantes e realiza-se a operação das potências de mesmo grau separadamente.
Veja nos exemplos:
Adição
De acordo com a função: (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1)
Primeiro se eliminam os parênteses e realiza o jogo de sinal:
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1
Depois, deve fazer a redução dos termos semelhantes:
–2x² + 7x – 3x³ – 3
Coloca a função em forma decrescente, segundo a sua potência:
–3x³ – 2x² + 7x – 3
Subtração
Segundo a mesma função: (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1)
Elimina novamente os parênteses e realiza o jogo de sinais:
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1
Os termos semelhantes são reduzidos:
–2x² + 3x – 1 + 3x³
Coloca a função de forma decrescente de acordo com a sua potência:
3x³ – 2x² + 3x – 1
Já na multiplicação, aplica-se a propriedade distributiva, reduzindo depois os seus termos semelhantes.
Veja no exemplo:
Considere os mesmos polinômios: –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1
(x – 1) . (x2 + 2x – 6)
x.x2 + x.2x – x.6 + (-1). x2 + (-1).2x – (-1).6
x³ +2x² – 6x – x² – 2x + 6
x³ + x² – 8x + 6
Divisão
A divisão é feita da seguinte forma:
Método da divisão.
Veja com números:
Método da divisão.
Polinômios idênticos
Os polinômios são considerados idênticos quando todos os seus coeficientes possuem o mesmo número.
Veja o exemplo:
Os polinômios A(x)= x2 – 1 e B(x)= (x+1)(x-1) são idênticos?
Quando multiplicamos em B(x) temos a seguinte resposta:
B(x) = (x+1)(x-1)
B(x) = x2 – 1
Portanto, os polinômios são iguais, já que os coeficientes dos termos correspondentes A(x) e B(x) são iguais.
Gráficos de polinômios
As funções polinomiais podem ser transformadas em gráficos. Para isso, atribuem-se valores a x nas expressões. Nesse caso, na p(x).
Quando isso é feito, encontram-se os pares ordenados (x e y), que vão definir os pontos do gráfico, que quando interligados, desenha a figura da função polinomial.
Veja na prática nos gráficos a seguir:
- Gráfico da função polinomial de grau 1
Gráfico da função de grau 1
- Gráfico da função polinomial de grau 2
Gráfico da função de grau 2
- Gráfico da função polinomial de grau 3
Gráfico da função de grau 3
Valor Numérico
Para encontrar o valor numérico de uma função polinomial, basta substituir um valor na sua variável x.
Veja:
1. Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x2- 2x+5, para x=2?
P(2)= 22 – 2.2+5
P(2) = 4- 4 +5
P(2) = 5
2.Qual o valor numérico de p(x)= x3+2x2- x- 3, para x= -3?
P(-3)= (-3)3 + 2. (-3)2 – (-3) – 3
P(-3) = -27+ 2.9 +3 -3
P(-3) = -27+18
P(-3) = -9
Grau dos Polinômios
Para definir o grau do polinômio é preciso prestar atenção no seu expoente. O que apresentar o maior grau na equação sugerida, vai determinar o número do grau do polinômio.
Entenda nos exemplos:
Função polinomial de grau 2, ou função de segundo grau:
p(x)= 5x2 + x +2
Função polinomial de grau 3:
f(x)= 9x3 + 7x2 – 6x + 1
Função polinomial de grau 4:
Função de grau 4
Função polinomial de grau 5:
Função de grau 5
Função polinomial de grau 7:
Função de grau 7
Existe ainda o polinômio nulo, que acontece quando todos os coeficientes da equação são iguais a zero: P(x)=0.