Função com polinômio de segundo grau
A função quadrática, também chamada de função do segundo grau, é expressa como f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, sendo que os coeficientes "a, b e c" números reais e "a" diferente de 0 (zero).
De modo geral, as funções possuem dois elementos básicos: 1) domínio, que corresponde ao conjunto dos valores possíveis das abscissas (x) e 2) imagem, que é o conjunto de valores das ordenas (y), estabelecida pela aplicação de f(x).
Já o grau da função é determinado de acordo com o maior expoente da variável x. No caso da função quadrática, dois é o mais expoente de x. Mas atenção! Se em uma função não houver nenhum expoente na variável x significa que ela é do primeiro grau.
• Função afim ou função primeiro grau: expressa como f(x) = ax + b. Exemplo: f(x) = axé + 1;
• Função quadrática ou função de segundo grau: expressa como f(x) = ax² + bx+ c. Exemplo: f(x)= 2x² – 2x;
• Função cúbica ou função de terceiro grau: expressa como f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Exemplo: f(x) = 4x³ + x² + 2x + 4;
Observe abaixo outros exemplos de funções quadráticas:
y = x² - 4x + 3, onde a = 1, b = -4 e c = 3
y = - x² + 2x + 4, onde a = - 1, b = 2 e c = 4
y = 3x² - 4x, onde a = 3, b = -4 e c = 0
Função quadrática completa e incompleta
Você percebeu que no exemplo y = 3x² – 4x, o coeficiente c é igual a zero? Isso indica que esta é uma função incompleta, o mesmo vale quando o coeficiente b é igual a zero. Confira outros exemplos:
f(x) = 2x² + 5, onde a = 2, b = 0 e c = 5
f(x) = 3x² , onde a = 3, b = 0 e c = 0
Existe também a função completa, a qual todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero. Confira alguns exemplos
f(x) = 5x² + 2y+ 1, onde a = 5, b = 2 e c = 1
f(x) = x² + 4y+ 11, onde a = 1, b = 4 e c = 11
Gráfico da função quadrática
O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade é determinada de acordo com o valor de a. Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima e se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo.
a > 0 e a < 0. (Foto: Wikipédia)
Raízes e vértice
Dois conceitos estão relacionados à concavidade da parábola: as raízes (pontos onde o gráfico intercepta o eixo x) e o vértice (ponto de máximo ou mínimo a função). As raízes podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara ou outros métodos. Lembrando que, as funções quadráticas possuem apenas duas raízes.
Em relação ao vértice, na função de primeiro grau é possível traçar o gráfico a partir de dois pontos. Contudo, isso não acontece na função de segundo grau, pois é necessário conhecer mais que dois pontos.
A partir do valor do 
= b² - 4ac, sabemos que:
= b² - 4ac, sabemos que:• Se > 0, a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;
> 0, a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;• Se = 0, a função possui duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;
= 0, a função possui duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;• Se < 0, a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;
< 0, a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;Exemplo
Dada a função 4x² – 4x – 24 = 0, vamos resolvê-la seguindo algumas etapas:
O primeiro passo é escrever o valor dos coeficientes, sabemos que a = 4, b = – 4 e c = - 24.
O segundo passo consiste em o calcular o valor da discriminante delta, logo:
Cálculo delta.
O terceiro é substituir os valores da discriminante e nos coeficientes na fórmula de Bháskara. Vale ressalta que, a presença do sinal +/- indica que o raiz de delta tem um valor positivo e outro negativo. Assim temos:
Solução da função.