Diferente das figuras planas, as geométricas desenvolvem-se no espaço tridimensional
A geometria é um ramo da matemática que estuda as medidas e as propriedades das figuras, sendo dividida em duas subáreas, além da geometria espacial: a geometria plana (responsável pelo estudo do plano e do espaço) e a geometria analítica (que possui relação com a álgebra e a análise matemática).
História da geometria espacial
O Papiro de Moscou consiste em uma tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas, um desses resolvia o cálculo do volume do cilindro reto determinando o produto da área da base pelo comprimento da altura.
O Papiro de Moscou foi o documento que fundamentou
os estudos da geometria espacial. (Foto: Wikipédia)
Já o Papiro de Rhind é um documento de origem egípcia com data em 1650 a.C, que tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 0,32 m de largura. No Papiro contém 85 problemas ligados à aritmética e à geometria, com as respectivas soluções.
Os egípcios eram capazes de realizar cálculos e medidas de dimensionamento da terra. Esse conhecimento foi denominado pelos gregos de geometria. Já os filósofos como Pitágoras e Platão, associavam o estudo da geometria espacial ao estudo da metafísica e da religião, devido às formas abstratas que as figuras apresentam.
Muitos estudos antigos, de forma geral, se concentraram na grande área da geometria. Como o grego Euclides de Alexandria, em sua obra Os Elementos, apresentou alguns conceitos relacionados à trigonometria, mas representados por formas geométricas.
Somente no período do Renascimento foram retomados os estudos sobre a geometria espacial, até então adormecidos. O matemático Leonardo Fibonacci em 1220 escreveu a “Practica Geometriae”, uma coleção sobre Trigonometria e Geometria.
Conceitos primitivos
A geometria espacial baseia-se nos conceitos primitivos:
• Ponto: definido por Euclides como “aquilo que não tem parte”, o ponto não tem dimensão ou forma, sendo sua única propriedade o fornecimento de localização. Toda a figura geométrica é considerada um conjunto de pontos;
• Reta: não tem origem, nem dimensão e é infinita, por isso não é possível determinar o seu comprimento. A reta é um conjunto infinito de pontos;
• Linha: assim como a reta, a linha é infinita, mas tem a possibilidade de formar curvas e nós sobre si mesma;
• Plano: superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. O plano é formado pelo enfileiramento de retas e é onde as figuras bidimensionais são construídas;
• Espaço: extensão natural do plano, no espaço são construídas as figuras tridimensionais.
Axiomas e postulados
Na obra Os Elementos, Euclides de Alexandria dividiu as proposições em postulados (proposições que não precisam de demonstração). Contudo, em muitos contextos matemáticos os termos axiomas, postulados e hipóteses são descritos como semelhantes.
Contudo, a possível diferença entre os termos postulado e axioma é que neste último há possibilidade de se provar, logo um axioma passaria a ser um teorema. Enquanto os postulados são verdades evidentes que não requerem demonstrações.
Euclides desenvolver cinco postulados sobre a geometria, que envolvem alguns conceitos primitivos. Confira abaixo:
P1) Uma reta pode ser traçada de um ponto para outro qualquer;
P2) Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente no sentido da reta;
P3) Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à dada distância;
P4) Todos os ângulos retos são iguais entre si;
P5) Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos interiores (de um mesmo lado) seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam (quando suficientemente prolongadas) do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.
As figuras da geometria espacial
Na geometria espacial, os poliedros ainda são classificados em:
• Convexos: quando os poliedros se encontram totalmente no semiespaço que essa face determina.
• Côncavos: quando duas das faces do poliedro não estão contidas em apenas um semiespaço.
Dentre os poliedros convexos existem os poliedros regulares (Sólidos Platônicos ou Poliedros de Platão). São figuras que todos os lados possuem a mesma medida e com ângulos internos congruentes entre si. Existem apenas cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro.
Já os poliedros irregulares são sólidos geométricos com faces formadas por polígonos regulares e irregulares. Os dois tipos mais conhecidos são: as pirâmides e os prismas.
O matemático suíço, Leonhard Euler, desenvolveu uma relação que é aplicada a todos os poliedros convexos. Teorema ou Relação de Euler calcula o número de arestas (A), faces (F) e vértices (V) da figura, desde que haja dois valores.
Onde,
F: número de faces | V: número de vértices | A: número de arestas
Prismas - são sólidos geométricos formados por duas faces planas e congruentes e laterais compostas de paralelogramos ou quadriláteros. De acordo com sua inclinação, o prisma pode ser reto (a aresta e a base fazem um ângulo de 90º) ou oblíquo (ângulos diferentes de 90º).
Onde,
Ab: Área da base | h: altura
Corpos Redondos
Dentro da geometria espacial existem os corpos redondos, figuras geométricas que apresentam pelo menos uma parte arredondada em sua superfície. Cilindro, esfera e cone são exemplos.
Cilindro - corpo redondo formado por duas bases circulares, altura e geratriz. No cilindro reto (gerado a partir da rotação completa do triângulo retângulo), a geratriz forma com a base um ângulo de 90°, enquanto no cilindro oblíquo as geratrizes são oblíquas às bases.
Onde,
At: área total | Ab: área da base | Al: área lateral | p (Pi): 3,14 | r: raio | h: altura | V: volume
Cone - sólido formado por uma base circular, com altura, vértice e geratriz. Podendo ainda ser classificado em reto (quando a altura forma um ângulo de 90° com a base) ou oblíquo (o eixo não é perpendicular à base da figura).
Essa figura também recebe o nome cone de revolução, pois foi gerado a partir da rotação completa de um triângulo retângulo.
Onde,
Ab: área da base | p (Pi) = 3,14 | r: raio | Al: área lateral | h: altura | g: geratriz
Esfera - figura formada por uma superfície de curva contínua, centro, raio e diâmetro. A figura geradora da esfera é o semicírculo, que através do processo de rotação gira em torno de seu eixo e forma uma superfície esférica.
Onde,
Ae= área da esfera | Ve: volume da esfera | p (Pi) = 3,14 | r: raio