Estudo das formas sem volume
A geometria plana ou euclidiana é a vertente da matemática que estuda as figuras geométricas que não possuem volume, como triângulos, retângulos, círculos, entre outros.
Criado pelo matemático Euclides de Alexandria, a geometria plana vai explorar as propriedades e tamanho das formas, além de aplicar fórmulas matemáticas para descobrir seu perímetro e área. Esta área apresenta certas propriedades que nos ajudam a compreender as figuras mais complexas, como os conceitos de ponto, linha, plano e ângulo.
A geometria plana é uma área de estudos que faz parte da geometria. Euclides de Alexandria ficou conhecido como "pai de geometria", devido a sua contribuição para os estudos dessa área. Já as figuras que possuem volume são estudadas pela geometria espacial.
Exemplos de figuras estudadas na geometria plana. (Foto: Wikipédia)
Conceitos da Geometria Plana
Para entender as formas geométricas planas é necessário conhecer alguns conceitos básicos que compõem esta categoria da geometria.
Ponto
O ponto é uma forma geométrica sem definição exata, pois não possui dimensão (área e cumprimento iguais a zero), ou seja, é identificado por “aquilo que não tem partes”. É o elemento base para a formação de outra figuras e são representados por letras minúsculas.
Reta
Linhas infinitas que não possuem largura, formada por inúmeros pontos. Elas podem ser horizontal, vertical ou diagonal e representadas por letras minúsculas do alfabeto latino. Em relação aos pontos em comum, podem ser identificadas como:
• paralelas, quando não possuem ponto em comum com outra reta;
• concorrentes, quando se cruzam com outra reta por intermédio de um ponto em comum.
Semirretas
Retas que possuem ponto de início e fim. Isto é, são linhas com apenas um sentido e direção, porém com origem definida.
Segmentos de retas
Retas divididas em dois pontos que possuem tamanhos definidos. Podem ser classificadas em quatro seguimentos:
• retas consecutivas, quando apresentam ponto em comum;
• retas colineares, quando dois ou mais pontos diferentes dividem a mesma reta;
• retas adjacentes, quando permitem pontos em comum e a passagem de uma reta exclusiva;
• retas congruentes, quando são segmentos de retas com tamanhos iguais.
Plano
Representado pela letra minúscula do alfabeto grego (alfa ou beta), o plano é a estrutura composta por infinitos planos que pode seguir em todas as direções. Essa superfície possui comprimento e largura, sendo a base para a formação das figuras geométricas planas.
Ângulos (Â)
Junção de dois segmentos de reta, de acordo com um ponto comum e os graus de abertura. Podem ser classificados de cinco formas distintas.
• nulo (0°), quando as semirretas saem na mesma direção e se sobrepõem, não existindo abertura;
• agudo, quando a abertura alterna entre 0° e 90°;
• reto, quando possui um ângulo de 90°,
• obtuso, quando o ângulo é maior que 90° e menor que 180°;
• raso, quando as semirretas saem em direções distintas, formando um ângulo de 180°.
Além desses, podem ser complementares, quando a soma dos ângulos é igual a 90°, suplementares – quando a soma é igual a 180° - ou opostos pelo vértice, quando possuem a mesma medida, mas se encontram em apenas um dos lados.
Área (S)
É todo o tamanho da superfície. Por isso, a depender da medida da superfície de uma figura, maior será sua área. Representada nas ilustrações pela letra S, importante ressaltar que cada figura geométrica pode ser calculada a partir de fórmulas matemáticas específicas.
Perímetro (P)
Resultado da soma dos comprimentos, ou seja, a soma de todos os lados das formas geométricas, sejam regulares ou não.
Figuras Geométricas Planas
As figuras planas são superfícies fechadas por segmentos de retas (mínimo três segmentos). Como já vimos, todas as formas geométricas tidas como planas possuem fórmulas matemáticas específicas para seu perímetro e área, já que elas não apresentam volume.
Além disso, podem ser classificadas em: polígonos e não polígonos.
Polígonos: são segmentos de reta que possuem determinado número de lados.
Não polígonos: são figuras que podem ser abertas ou fechadas.
Triângulos
Os triângulos são polígonos que possuem três lados (a soma dos ângulos internos sempre será 180°). Eles são reconhecidos de acordo com a quantidade de lados ou pelos ângulos.
triângulo equilátero: todos os lados e ângulos internos são iguais a 60°;
triângulo isósceles: apenas dois lados e dois ângulos internos são congruentes (iguais);
triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos distintos.
Forma geométrica do triângulo isósceles (Foto: Wikipédia)
Quanto aos ângulos:
triângulo retângulo: possui ângulo interno igual a 90° (reto);
triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos, ou seja , menores que 90°;
triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°.
Quadrado
Figura geométrica do quadrado (Foto: Educa Mais Brasil)
Polígono que dispõe de quatro lados iguais, o quadrado é um dos tipos de forma geométrica presente no grupo dos quadriláteros. Possui também quatro ângulos retos ou congruentes (90°).
Retângulo
Retângulo é todo paralelogramo que possui todos os seus ângulos retos (90°). Os lados opostos (vertical e horizontal) são paralelos e de mesmo tamanho.
Forma geométrica do retângulo (Foto: Pixabay)
Paralelogramos são formas de quatro lados iguais cujo os lados opostos são paralelos. Em todos eles os lados e ângulos opostos são congruentes, a soma de dois ângulos consecutivos é 180° e as diagonais dividem-se em dois.
Trapézio
Figura geométrica do trapézio (Foto: Wikipédia)
Trapézio é um quadrilátero notável, pois a soma dos ângulos internos chega a 360°. Possui dois lados opostos e bases paralelas, uma maior que a outra. Assim como os triângulos, possuem classificações distintas:
trapézio retângulo: aqueles que possuem dois ângulos de 90°, pois um dos pontos da sua diagonal é perpendicular às bases;
trapézio isósceles: aqueles cujo os lados não paralelos possuem a mesma dimensão;
trapézio escaleno: aqueles que têm todos os lados com tamanhos diferentes.
Losango
Mais um tipo de quadrilátero, o losango é construído por quatro lados iguais. As suas diagonais, que são paralelas, formam o ângulo de 90°.
Forma geométrica do losango (Foto:Wikipédia)
O losango também pertence a classe dos paralelogramos, assim como os retângulos.
Círculo
Forma geométrica do círculo (Foto: Wikipédia)
Diferentemente dos demais polígonos, o círculo engloba todos os pontos de um plano. Seus principais componentes são o raio (r) e centro. O raio é o valor da distância entre o centro do círculo até o seu contorno.
Figuras Não Planas
Também nomeados como sólidos geométricos, as figuras não planas possuem largura, altura e comprimento. Assim como as formas planas, são classificadas em duas situações: poliedros e não poliedros.
Poliedros: são sólidos limitados por uma quantidade de faces. As faces são superfícies planas com determinado número de lado. O encontro de duas faces é conhecido como aresta e o ponto de união entre várias arestas é dito como vértice do poliedro.
Não Poliedros: também definidos como corpos redondos, os não poliedros possuem bases arredondadas. O cilindro, a esfera e o cone são exemplos de não polígonos.
Fórmulas da Geometria Plana
Como já foi dito, cada figura plana apresenta seu próprio cálculo matemático. Vamos a eles.
Triângulo
Para calcular a área de um triangulo retângulo (ângulo de 90°), divide-se por 2 o valor da multiplicação da base (b) pela altura (h). Sendo assim, a fórmula é A=b.h/2.
Com os triângulos equiláteros (todos os lados iguais e ângulos internos igual a 60°), o cálculo padrão é:
Fórmula da área do triângulo
Já para os triângulos que possuem ângulos menores que 90°, utiliza-se os conceitos de seno e cosseno ou semiperímetro.
Retângulo
A fórmula para encontrar a aérea de um retângulo é uma das mais fáceis dentro da geometria plana. É a multiplicação da base pela altura, ou seja:
Fórmula da área do retângulo
Quadrado
É basicamente a mesma fórmula do retângulo, exceto o fato que a figura possui quatro lados iguais. Por isso, basta encontrar a medida de um dos lados e elevar ao quadrado
Fórmula da área do quadrado
Trapézio
Basta multiplicar a altura (h) pelo resultado da soma da base maior com a base menor, representadas por B e b, e dividir por 2. Isto é:
Fórmula da área do trapézio
Losango
Multiplica-se o valor da diagonal maior (D) e da menor (d) e depois divide o valor por 2.
Fórmula da área do losango
Círculo
O círculo tem a constante p (aproximadamente 3,14) e o raio (R). Para encontrar a sua área, basta elevar o raio ao quadrado e multiplicar com o valor do p. A fórmula fica:
Fórmula da área do círculo