A inequação é definida pela comparação entre os coeficientes de uma sentença matemática. Diferentemente da equação de primeiro e segundo grau, que são dadas por igualdades, nesse conceito existe uma ordem entre os termos.
Os símbolos empregados servem para comparar e, por isso, recebem o nome de maior que (>); menor que (<); maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).
Inequação do 1° Grau
Caracteriza-se por inequação de 1° grau a desigualdade na variável x que pode assumir as formas de ax + b > 0; ax + b ≥ 0 ; ax+b < 0 ou ax + b ≤ 0. Para isso, os valores de "a" e "b" devem participar do conjunto dos números reais, e o coeficiente a ser diferente de zero.
O cálculo de uma inequação precisa encontrar o conjunto com os resultados possíveis de x que torne a sentença verdadeira. Vejamos:
5x – x < - 6 + 18
O primeiro passo é solucionar como se fosse uma equação do primeiro grau, ou seja, conservar as variáveis x e utilizar a regra dos sinais:
5x – x < - 6 + 18
4x < 12
x < 12/4
x < 3
Logo, o conjunto solução é S: {x ∈ R; x < 3} . O resultado também pode ser escrito em notação de intervalos reais, que, neste exemplo, sinaliza que os valores menores que 3 tornam a inequação correta, ou seja:
Notação com intervalo aberto. (Foto: Educa Mais Brasil)
Na representação gráfica acima, o círculo vazio significa que somente os valores abaixo de 3 formam o conjunto solução.
Dado 16x – 32 ≥ 0, temos:
16x – 32 ≥ 0 16x ≥ 32 x ≥ 32/16 x ≥ 2
Portanto, o conjunto solução é S = {x ∈ R; x ≥ 2}. Já na notação de intervalos, ao invés do círculo vazio, ele aparece totalmente preenchido. Isso ocorre porque todos os valores maiores que 2 e ele mesmo integram a solução.
Notação com intervalo fechado. (Foto: Educa Mais Brasil)
Considerando 3x - 3 ≤ - 21, percebe-se:
3x ≤ - 21+3 3x ≤ - 18 x ≤ -18/3 x ≤ - 6
Sendo assim, os resultados menores ou iguais a - 6 satisfazem a questão, isto é: S = {x ∈ R; x ≤ - 6}.
Notação com intervalo fechado. (Foto: Educa Mais Brasil)
Sistemas
A formação de sistemas lineares, que é comum nas equações de nível um, também acontece com as inequações de primeiro grau. Pra resolvê-los é necessário encontrar cada variável x separadamente e, logo depois, estabelecer o conjunto solução entre as desigualdades.
Observe o sistema com duas inequações:
Exemplo de sistema.
4x + 12 ≥ 0 4x ≥ - 12 x ≥ - 12/4 x ≥ - 3
Notem que qualquer valor maior ou igual a - 3 satisfaz a sentença.
x + 7 < 0
x < - 7
Agora, qualquer valor menor que -7 torna a inequação correta.
Comparando o resultado das suas variáveis, temos que o conjunto solução é S = {x ∈ R; x < - 7 ou x ≥ - 3}. A representação gráfica é:
Intervalo do sistema linear. ( Foto: Educa Mais Brasil)
Inequação do 2° Grau
Configura-se como inequação do 2° grau uma desigualdade na variável x cujo o maior expoente é de grau 2. Ela pode aparecer nas formas de ax² + b > 0; ax² + b ≥0; ax²+b < 0 ou ax² + b ≤ 0, sendo os coeficientes números reais e a diferente de zero.
A chave para calcular uma inequação de nível dois depende do estudo de sinais e do seguinte roteiro:
• Identificar no eixo das abscissas (x) os valores que tornam a sentença verdadeira;
• Elaborar o gráfico, que neste caso é uma parábola, passando pelas raízes.
Entenda melhor na questão a seguir:
Dado x² - 2x - 3 ≤0, temos a = 1; b = 2; c = -3
De acordo com a Fórmula de Bhaskara, precisamos determinar a discriminante:
∆ = b² - 4ac ∆ = 2² - 4.1.(- 3) ∆ = 4 + 12 ∆ = 16
Depois, devemos substituir os coeficientes e o delta encontrado:
Cálculo das raízes.
Repare que na fórmula aparece o sinal de ±. Ele estabelece que duas operações precisam ser realizadas: uma com o discriminante positivo e outra com negativo:
Cálculo das raízes.
Desta forma, o conjunto solução é S= {x ∈ R; - 3 ≤ x ≤ 1}.
Como as raízes encontradas são reais e o coeficiente de a é maior que zero, a concavidade da parábola do gráfico será voltada para cima:
Gráfico da inequação de 2° grau. (Foto: Educa Mais Brasil)
