O teorema estabelece as relações métricas de um triângulo
A Lei dos Senos e dos Cossenos é um dos teoremas mais importantes da trigonometria (ciência que estuda os triângulos). Com o uso dessa lei é possível estabelecer relações que auxiliam no cálculo dos ângulos e dos lados do triângulos.
A aplicação dessa lei é específica para o triângulo acutângulo (possui todos os ângulos agudos, menores que 90°), o triângulo obtuso (possui um ângulo interno obtuso, maior que 90º), entre outros.
O cálculo das medidas do triângulo retângulo (possui um ângulo interno reto, com 90º) não é realizado por meio da Lei dos Senos e dos Cossenos, mas sim do Teorema de Pitágoras, representado pela fórmula: a² = b² + c²
Demonstração e aplicação da Lei dos Senos e dos Cossenos
As relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não se aplicam aos triângulos acutângulo e obtuso. A resolução dessas triângulos se dá por meio da Lei dos Senos e dos Cossenos que, por sua vez, é construída com base no Teorema de Pitágoras.
Lei dos Cossenos
Também denominada de Teorema dos cossenos, a Lei dos Cossenos é usada para realizar o cálculo das dos lado e dos ângulo do triângulo, desde seja dado algum valor. Essa lei é conhecida pelo enunciado:
“O quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles”.
E sua fórmula é:
a² = b²+c²-2.b.c.cosA
b² = a²+c²-2.a.c.cosB
c² = a²+b²-2.a.b.cosC
Na figura abaixo podemos identificar os triângulos: ABC, ABD e BCD.
Triângulos Lei dos Cossenos. (Foto: Educa Mais Brasil)
Com base no Teorema dos cossenos podemos obter as seguintes relações:
b= m + n e m = c.Cos A
Os triângulos ABD e BDC são triângulos retos, já que seus ângulos internos correspondem a 90º. Assim sendo, o Teorema de Pitágoras é utilizado para determinar as relações entre os lados das figuras e dar forma à Lei dos Cossenos.
Segundo o Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
No triângulo ABD encontramos: c² = m² + h²
No triângulo BCD encontramos: a²= n ²+ h²
Na substituição dos elementos n = b-m e h² = c² - m² atingimos a seguinte relação:
a² = (b-m) ² + c² - m²
a² = b² - 2b.m + m² + c² - m²
a² = b² + c² - 2b.m
Com base na relação m = CosA é possível chegar à Lei dos Cossenos:
a² = b² + c² -2b.c.CosA
A Lei dos Cossenos pode ser aplicada ao triângulo abaixo, que apresenta os seguintes dados: Lados: a=?, b =10, c = 15 e ângulo: 60º.
Aplicação Lei dos Cossenos. (Foto: Guia Estudo)
a² = 10² + 15² - 2.10.15. Cos 60º
a² = 100 + 225 – 300. 1/2
a² = 325 -150
a² = 175
a = v175 = 5v7
Lei dos senos
A Lei dos senos ou Teorema dos senos indica que a relação entre a medida do lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado será sempre constante. Essa lei é representada pela seguinte fórmula:
Lei dos Senos
Abaixo, os triângulos 1 (ABC), 2 (ABD) e 3 (BCD) irão ajudar na visualização dessa lei:
Triangulo na Lei dos Senos. (Foto: Educa Mais Brasil)
Os triângulos retângulos ABD e BCD são gerados a partir do corte do triângulo ABC em duas partes.
O seno do ângulo A do triângulo ABD é demonstrado por:
Seno de a
SenA.c = BD
Já o seno do ângulo C do triângulo BCD é demonstrado por:
Seno de c
senC.a = BD
Com isso, observamos que senC.a e SenA.c são iguais em BD:
senC.a = senA.c
Seno de a e c
Como a relação ao que se estabelece nessa Lei é de proporcionalidade, se dermos continuidade ao cálculo do outro lado do triângulo chegaremos à conclusão que:
Lei dos Senos
Para aplicação da Lei dos senos, observa-se o triângulo abaixo que fornece os seguintes dados: c = 6, C= 45º, B = 60º e a?:
Aplicação Lei dos Senos. (Foto: Educa Mais Brasil)
Aplicação Lei dos Senos
Tabela de ângulos
É importante conhecer os principais ângulos e seus respectivos valores em seno, cosseno e tangente. Abaixo a tabela para auxílio nos cálculos das Lei dos Senos e dos Cossenos:
| Ângulo | Seno | Cosseno | Tangente |
| 0º | 0 | 1 | 0 |
| 30º | 1/2 | v3/2 | v3/3 |
| 45º | v2/2 | v2/2 | 1 |
| 60º | v3/2 | 1/2 | v3 |
| 90º | 1 | 0 | - |
| 120º | v3/2 | -1/2 | -v3 |
| 135º | v2/2 | -v2/2 | -1 |
| 150º | 1/2 | -v3/2 | -v3/3 |
| 180º | 0 | -1 | 0 |
| 210º | -1/2 | -v3/2 | v3/3 |
| 225º | -1/2 | -v2/2 | 1 |
| 240º | -v3/2 | -1/2 | v3 |
| 270º | -1 | 0 | - |
| 300º | -V3/2 | 1/2 | -v3 |
| 315º | -V2/2 | V2/2 | -1 |
| 330º | -1/2 | V3/2 | -V3/2 |
| 360º | 0 | 1 | 0 |