Subárea da matemática que analisa as proposições como verdadeiras ou falsas
A lógica matemática é uma subárea que desdobra-se na análise das proposições, a fim de verificar se uma afirmação é verdadeira ou falsa. Entre as suas aplicações destacam-se a programação de computadores e o uso em questões de vestibulares.
Em algumas situações, a lógica matemática ainda é dividida em:
• Teoria dos conjuntos
• Teoria de modelos
• Teoria da recursão
• Teoria da prova
Todas essas áreas compartilham princípios básicos de lógica e definibilidade. Contudo, a lógica nem sempre esteve associada à matemática, pois inicialmente foi aplicada no contexto filosófico.
Quer saber como a lógica matemática passou a fazer parte do nosso cotidiano? Acompanhe a explicação abaixo e boa leitura!
História da lógica matemática
Quando surgiu por volta do século XIX, a lógica matemática era estudada independente da lógica, a qual teve bases no silogismo de Aristóteles, também aplicado ao raciocínio lógico. Segundo o filósofo, as premissas são juízos que antecedem a conclusão.
Ele ainda afirmava que a lógica não era um ciência e sim um instrumento correto para pensar. Essa ideia permaneceu por muito tempo e foi base para construção de teorias, gregas, chinesas, indianas e islâmicas.
Durante a História Moderna acredita-se que René Descartes foi o primeiro filósofo a utilizar métodos algébricos como forma de exploração científica. Somente na Idade Contemporânea, a partir George Boole e Augustus de Morgan, foram apresentados os fundamentos da lógica algébrica.
A lógica matemática relaciona-se com teoria dos conjuntos. (Foto: Wkipédia)
Proposições
A lógica matemática possui um conceito básico: proposição. Que nada mais é que uma derivação do verbo propor “apresentar; colocar diante de” ou ainda pode ser caracterizada como uma sentença afirmativa escrita em linguagem formal ou informal.
A sentença de uma proposição é associada a um valor verdadeiro ou falso, mas nunca os dois. Ela também, geralmente, é representada por letras minúsculas (q, r, s ou t). Confira o exemplo abaixo:
p: Maria é professora
Uma vez considerada verdadeira a proposição p, isto é, que Maria é professora, também podemos afirmar que o valor lógico da proposição p é verdadeira. Isso também equivale a equação VL(p) = v.
As proposições são classificadas como simples ou compostas. No primeiro caso, elas estão sozinhas e desacompanhadas de outras proposições. Já quando elas são combinadas com duas ou mais proposições, forma-se uma proposição composta. Por exemplo:
p: o carro é preto (proposição simples)
r: o carro é preto e Jorge é motorista (proposição composta)
Operações lógicas
As operações realizadas a partir das proposições são chamadas de operações lógicas, as quais seguem as regras do cálculo proposicional e são parecidas com a aritmética dos números. Veja abaixo a descrição de cada uma delas:
Negação - tal operação corresponde ao valor lógico oposto da proposição p, sendo chamado de “não p” ou ainda representado simbolicamente por “~”, que indica a negação de p.
Deste modo, quando uma proposição é verdadeira, a não proposição será falsa:
~V = F
~F = V
Exemplo:
p: eu estudo muito.
~p: eu não estuda muito
Conjunção – aplicada à lógica matemática, essa operação é usada quando entre as proposições existe o conectivo “e”, representado simbolicamente por “^”. Essa operação será verdadeira apenas quando todas as proposições forem verdadeiras.
Deste modo, é importante saber que:
V ^ V = V
F ^ F = F
V ^ F = F
F ^ V = F
Exemplo:
p: 3 + 4 = 7 e q: 2 + 12 = 10, o valor lógico das proposições p ^ q é falso, uma vez que a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa.
Disjunção – o valor lógico dessa operação será verdadeiro quando no mínimo uma das proposições for verdadeira. Por conseguinte, o valor somente será falso quando as duas proposições forem falsas.
A representação da disjunção entre duas proposições é representada por “p v q”, que corresponde a “p ou q”. Deste modo, é importante saber:
V v V = V
F v F = F
V v F = V
F v V = V
Exemplo:
p = Salvador é a capital do Brasil
q = 2+2 = 4
Logo, p v q = V
Condicional – nessa operação é utilizado o conectivo “se… então …”, representado simbolicamente por “–>”, lendo-se “se p, então q”. O valor lógico dessa proposição será falso se p for verdadeiro e q for falso. Nas demais situações o valor será verdadeiro.
Deste modo, é importante saber que:
V –> V = V
F –> F = V
V –> F = F
F –> V = V
Exemplo:
Se um dia possui 20 horas, então um ano tem 365 dias?
Sabemos que um dia não possui 20 horas (proposição falsa), mas o ano tem 365 dias (proposição verdadeira), logo, o valor lógico dessa operação é verdadeiro.
Bicondicional – a partir do operador “se e somente se”, representado simbolicamente por <–>. Em p <--> q, o valor lógico será verdadeiro se as suas proposições forem verdadeiras ou falsas. Nos demais casos o valor lógico será sempre falso.
Deste modo, é importante saber que:
V <–> V = V
F <–> F = V
V <–> F = F
F <–> V = F
Exemplo:
p = 2+2 = 4 e q = 1+1 = 3. Logo, p <–> q = F, já que uma das proposições, a segunda, é falsa.