Tipo de matriz quadrada com o mesmo número de linhas e colunas
A matriz inversa, que convencionalmente também é chamada de matriz invertível, é um tipo peculiar de matriz caracterizada pelo padrão A . X = B. Para cada matriz é possível encontrar uma única inversa.
Ao realizar esse cálculo, com a multiplicação dos números correspondentes dentro da matriz inversa de qualquer tipo, o resultado será uma inversa de mesma ordem. Portanto, o resultado será uma matriz quadrada da mesma ordem da sua original.
Nem todas as matrizes podem ter uma inversa. Esse cálculo somente é possível para as operações após a identificação do seu determinante. A matriz identidade, nesse caso, é aquela em que todos os componentes da diagonal principal são iguais ao número um e todos os outros elementos são equivalentes a zero, independentes da posição em que ocupem dentro da matriz.
Matriz inversa: o que é
A matriz inversa é aquela que possui padrão semelhante à sua matriz original. Logo, é uma matriz que contém o mesmo número de linhas e colunas (matriz quadrada), chamada de identidade.
Para afirmar se uma matriz é inversível, ou seja, se é possível calcular a sua inversa, é necessário primeiro identificar o seu determinante. Caso este determinante seja diferente de zero, a matriz é inversível. Em situações em que o determinante é nulo, a matriz não pode ser considerada inversível. Então, sua inversa é inexistente.
Conclui-se, portanto, que apenas as matrizes quadradas podem possuir uma inversa, visto que o cálculo do determinante somente é possível nesse tipo de matriz. Como dito anteriormente, uma matriz quadrada é especificamente aquela que o número de linhas e colunas são idênticos. Não há exceção para essa regra, como ocorre em muitas operações matemáticas.
Cálculo de uma inversível
O cálculo desse tipo de matriz é realizado a partir do método de resolução dos sistemas lineares. Como visto na explanação acima, a multiplicação de matrizes pela sua inversa tem como resultado uma matriz identidade. Por meio disso é possível criar um sistema de equações lineares e calcular a inversa da matriz em questão.
Exemplo 1:
Dada uma matriz A e qualquer uma matriz quadrada de ordem n, a inversa de A é A-1. De acordo com a definição, se A é inversível então A . A-1 = In.
Primeiramente para conhecer se A é inversível é preciso calcular seu determinante. Então: det (A) = 2 . 1 – 1 . 0 = 2 – 0 = 2. Como o determinante de A é diferente de zero, então A possui inversa e podemos continuar.
Por A . A-1 = In tem-se que os elementos de A e da identidade são conhecidos, mas os elementos de A-1 são desconhecidos. Logo, a matriz inversa não será calculada. A seguir, há um exemplo em que é possível encontrar o determinante e seguir com a operação para identificar a inversa da matriz. Veja:
Exemplo 2:
Calculando uma matriz de ordem 3, ou seja, composta por três linhas e três colunas. Considere a matriz A a seguir, calcule a sua inversa A-1:
Exemplo de matriz de ordem 3.
Primeiro devemos verificar se A é inversível. Para matrizes quadradas de ordem 3 calculamos o determinante utilizando a regra de Sarrus.
Multiplicação da matriz de ordem 3.
Identificando seu determinante, tem-se:
Det (A) = 2 . 1 . 1 + 1 . 0 . 1 + 0 . 0 . 2 – 0 . 1 . 1 – 2 . 0 . 2 – 1 . 0 . 1 = 2, como det (A) ≠ 0, A é inversível.
Usando a definição de matriz inversa: A . A-1 = In. Vamos substituir as matrizes na fórmula.
Aplicação da fórmula.
Multiplicando A por A -1 encontra-se o seguinte resultado:
Resultado da multiplicação.
Fazendo a multiplicação entre os elementos respectivos entre o lado esquerdo com os elementos da matriz identidade do lado direito, obtém-se os seguintes resultados:
Sistema obtido através da multiplicação.
Basta resolver o sistema desenvolvido acima:
Resultado do sistema.
Portanto, tem-se a seguir o resultado da matriz inversa de A:
Resultado final.
Propriedades da Matriz Inversa
• Existe apenas uma matriz inversa para cada matriz original;
• Nem todas as matrizes podem possuir uma matriz inversa. Ela será invertível apenas quando os produtos de matrizes quadradas resultarem em uma matriz identidade (In);
• A matriz inversa de uma inversa corresponde a própria matriz anterior, ou seja, a matriz original: A = (A-1)-1;
• A matriz transposta de uma inversa também é inversa: (At) -1 = (A-1)t;
• A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: (A-1At)-1;
• A matriz inversa de uma matriz identidade será sempre idêntica à matriz identidade: I-1 = I