É obtida por meio da troca de elementos da linha pela coluna
Define-se como matriz transposta uma matriz qualquer resultante da troca ordenada das linhas pelas colunas de uma matriz chamada de original. Matematicamente, uma transposta de uma matriz é representada por: A = At.
Antes, porém, é preciso compreender o conceito de matrizes. Em regra geral, uma matriz é definida como termos e simbologias matemáticas organizadas dentro de uma tabela, agrupados em linhas e colunas de uma maneira que viabiliza a realização de cálculos simultâneos, seja a multiplicação, soma, subtração, dentre outras operações matemáticas.
Toda e qualquer matriz tem o formato representado por m x n (leia-se: m por n), em que “m” é o número de linhas e “n” o número de colunas de cada uma delas. Considerando que uma matriz A = [aij] m x n, sendo esta uma operação qualquer de matriz, chama-se de transposta de A a matriz At = [aij] n x m, em que At é obtida a partir de “A”, uma matriz principal fazendo a troca das linhas pelas colunas.
Dada a definição, pode-se perceber na explicação que houve a troca de "n" por "m" na matriz transposta. Ou seja, os elementos dispostos nas linhas de uma matriz foram organizados na coluna da matriz originada após as substituições, chamada de transposta.
Em que:
•i é a posição dos elementos da linha da matriz
•j é a posição dos elementos na coluna
•aij é a representação dos elementos dispostos em linhas e colunas
•m é o número de linhas que fazem parte da matriz
•n é o número de colunas que fazem parte da matriz
•At é a representação da transposta de A
--> Exemplo: na imagem abaixo há uma representação de matriz com a substituição dos seus elementos numéricos. Considere a matriz A, então At é:
Modelo de matriz em que há troca dos elementos da linha pela coluna da segunda matriz. (Foto: Educa Mais Brasil)
No exemplo anterior, a matriz A é uma matriz de ordem 3×2, ou seja, possui 3 linhas e duas colunas. Dessa forma, a matriz transposta At terá ordem 2×3 (inversa), 2 linhas e 3 colunas após a troca.
Matriz Transposta: características e propriedades
Considera-se A e B matrizes com elementos pertencentes aos números reais, sejam as características:
--> (A+B)t = At + Bt: a matriz transposta da soma das matrizes A e B é igual a soma da transposta de A com a transposta de B.
--> (a.A)t = a . At: a transposta da multiplicação de um número real qualquer pela matriz A é igual ao produto de A pela transposta de A.
--> (At)t = A: a transposta da transposta de A tem como resultado a própria matriz A, chamada de matriz original.
--> (A.B)t = Bt . At: no caso da multiplicação de matrizes, a transposta da multiplicação da matriz A pela matriz B é igual ao resultado fornecido da transposta de B pela transposta de A.
--> det(A) = det (At): o determinante da original é igual ao determinante da transposta.
Tipos de matrizes
Matriz Simétrica
Uma matriz simétrica é também uma matriz quadrada, cujo o número de linhas é igual ao número de colunas, com a seguinte igualdade: aij = aji. A transposta de uma matriz simétrica qualquer é exatamente a mesma matriz A. Logo, A = At.
Matriz Oposta
Na matriz oposta, diferente da transposta, não ocorre a troca dos elementos de posição. Nesse caso, apenas os sinais dos termos numéricos são invertidos, não ocorre a mudança na ordem dos números.
Matriz Antissimétrica
Uma matriz é considerada antissimétrica se A, uma matriz qualquer, for igual a oposta da transposta de A. Logo, A = -At (o mesmo que aij = -aji). Os elementos da diagonal principal da matriz antissimétrica são iguais a zero e os outros termos possuem sinais invertidos.
Matriz Inversa
Uma matriz inversa (descrita pelo número –1) é aquela em que o resultado da multiplicação de matrizes é igual a uma matriz identidade (I) quadrada com a mesma ordem,
identificada na expressão abaixo:
A.B = B.A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)
Matriz Linha
É o tipo de matriz que possui apenas uma linha.
Matriz Coluna
Como destaca o próprio nome, é o tipo de matriz que possui uma única coluna.
Matriz Nula
Uma matriz nula possui todos os seus elementos, sem exceções, iguais a zero.
Matriz Quadrada
Como citado anteriormente, esta matriz possui o número de linhas igual ao número de colunas.