Tabelas numéricas formadas por linhas e colunas
Matrizes são números reais estruturados em tabelas formadas por linhas horizontais e colunas verticais. Essa configuração facilita a execução de variados cálculos ao mesmo tempo.
Os números, que são identificados como elementos, aparecem dentro de colchetes, parênteses, barras simples ou barras duplas.
Modelos de matrizes. (Foto: Educa Mais Brasil)
Integrantes da matriz
Geralmente as tabelas mxn (“m por n”) são definidas de matrizes. Cada elemento é determinado por aij, no qual o i corresponde a posição do número na linha e j a posição na coluna.
As colunas são organizadas de cima para baixo, e as linhas da esquerda para a direita. Na imagem a seguir, o a1,1 encontra-se na primeira linha e segunda coluna, o a2,1 na segunda linha e primeira coluna, o a2,n na segunda linha e coluna n, e assim por diante.
Estrutura de uma matriz. (Foto: Educa Mais Brasil)
As matrizes apresentam duas diagonais: uma principal e outra secundária. A principal é formada pelos elementos de i = j e a secundária pelas somas de i com j.
Diagonais de uma matriz. (Foto: Educa Mais Brasil)
Categorias das matrizes
Algumas matrizes são classificadas de especiais por causa das suas configurações. Entre elas, destacam-se:
Linha
Matriz que possui somente uma linha (m = 1), por exemplo:
A = [10,12,14]
A é uma matriz de 1 por 3
Coluna
Matriz formada por apenas uma coluna (n = 1).
Exemplo de matriz coluna. (Foto: Educa Mais Brasil)
A é a matriz de coluna de 3 por 1.
Nula
Todos os números da matriz são iguais a zero.
Exemplo de matriz nula. (Foto: Educa Mais Brasil)
A é a matriz nula de 3 por 3.
Quadrada
Essa categoria possui o mesmo número de linhas e colunas. Em matrizes quadradas mxn a ordem sempre será n. Se uma matriz for 3 por 3, a sua ordem é 3.
Exemplo de matriz quadrada. (Foto: Educa Mais Brasil)
Na matriz de ordem n os elementos de i = j integram a diagonal principal. Já os de i + j = n + 1 participam da secundária.
Diagonal
Matriz quadrada cujo os números que não compõem a diagonal principal são todos iguais a zero (nulos).
Exemplo de matriz diagonal. (Foto: Educa Mais Brasil)
Oposta
Exemplo de matriz oposta. (Foto: Educa Mais Brasil)
Matrizes com os sinais dos elementos trocados. Ou seja, se uma matriz é B, a sua oposta será – B.
Identidade
Também conhecida como unidade, é um tipo de matriz diagonal e quadrada. Os elementos que pertencem à diagonal principal são iguais a 1, e os que não integram são iguais a zero. São de ordem n e simbolizados pela letra I.
Exemplo de matriz identidade. (Foto: Educa Mais Brasil)
O exemplo acima mostra a matriz identidade de ordem 3.
Inversa
Outra vertente da matriz quadrada. Serve quando duas matrizes resultam em outra com o mesmo número de linhas e colunas (identidade). Apresenta as seguintes características:
Exemplo de inversa. (Foto: Educa Mais Brasil)
• Cada matriz possui apenas uma inversa
• Nem todas as matrizes terão inversas. Isso ocorre porque somente a soma de matrizes quadradas resultarão em outra do mesmo tipo.
• A inversa da inversa é a matriz original: A = (A-1)-¹
• A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade: I-¹ = I
Transposta
Apresenta os elementos de uma determinada matriz original, porém organizadas em ordens distintas. É composta pela troca dos números das linhas pelas colunas. Isto é, se a matriz for C, a transposta será C elevado a t.
A matriz de ordem 3 por 2, por exemplo, a transposta será 2 por 3. Todas as colunas de C passarão para as linhas de C elevado a t. Entenda no exemplo:
Exemplo de transposta. (Foto: Educa Mais Brasil)
• A transposta da transposta é uma matriz original;
• A transposta da soma de duas matrizes é a igual a soma da transposta de cada uma delas;
• Uma matriz é considerada simétrica quando é exatamente igual a sua transposta;
• Uma matriz quadrada é ortogonal quando a sua transposta for igual a inversa.
Operações com matrizes
As operações matemáticas de adição, subtração e multiplicação podem ser realizadas em matrizes. Vejamos cada uma delas:
Igualdade
O significado de igualdade se encaixa nas matrizes de ordem nxm que apresentam elementos iguais, ou seja:
Regra da identidade. (Foto: Educa Mais Brasil)
Exemplo:
Relação de Igualdade. (Foto: Educa Mais Brasil)
Adição
A soma de duas ou mais matrizes exige que os elementos de cada uma delas sejam unidos, ou seja, soma de linha com linha e coluna com coluna. As propriedades da soma são:
Aplicação da soma. (Foto: Educa Mais Brasil)
• Comunicativa: A + B = B + A
• Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento neutro: A + N = N + A = A
• Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N
A subtração funciona de acordo com o mesmo esquema da soma.
Multiplicação
Os elementos das colunas de uma matriz são multiplicados pelas linhas da outra, resultando em uma matriz dada pela soma das multiplicações.
Aplicação da multiplicação. (Foto: Educa Mais Brasil)
• A multiplicação é possível quando o número de linhas de uma matriz é igual ao número de colunas da outra.
• A matriz resultante deve ter a mesma quantidade de linhas da primeira matriz, e a mesmo número de colunas da segunda.