O maior elemento encontrado na divisão de dois ou mais números naturais
O Máximo Divisor Comum (MDC) corresponde ao maior número inteiro capaz de dividir dois ou mais números naturais simultaneamente.
Esse número inteiro é chamado de divisor, pois determina as operações exatas de resto igual a zero. O algarismo 30, por exemplo, é divisível por 1,2,3,5,6,10,15 e 30. O primeiro elemento divisível para todos é o 1 e o último divisor de um número é ele mesmo. Já o zero é o único indivisível para todos os valores.
Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC)
O cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) pode ser efetuado de três maneiras: pela decomposição simultânea em fatores primos, fatoração ou algoritmo de Euclides.
Decomposição simultânea em fatores primos
Esse método envolve a decomposição primária de cada número, pois a regra afirma que o Máximo Divisor Comum (MDC) é o produto dos fatores em comum, sendo cada elemento elevado ao menor expoente.
Dado o MDC (36 e 90), vejamos a resolução:
36 = 2.2.3.3 = 2². 3²
90 = 2.3.3.5 = 2. 3². 5
A decomposição dos números acima mostra que ambos possuem três números em comum, o 2,3 e 3. Então, pela regra, o MDC é a multiplicação desses fatores, porém os de menores expoentes, ou seja:
MDC (36 e 90) = 2.3.3 ou 2. 3² = 18
Entre os números 20, 30 e 50 o MDC é:
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
30 = 2 x 3 x 5
50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5²
Os divisores em comum deste exemplo são 2 e 5. Como eles estão elevados a 1, a multiplicação dos fatores acontece de forma direta, logo:
MDC (20; 30 e 50) = 2.5 = 10
Portanto, para realizar a decomposição simultânea em fatores primos basta as seguintes orientações:
• Passo 1: decompor os números em fatores primos.
• Passo 2: selecionar os fatores em comum que apresentam menores expoentes
• Passo 3: multiplicar esses fatores
Fatoração
Outro processo para descobrir o Máximo Divisor Comum (MDC) é a fatoração, pois a decomposição simultânea em fatores primos é aplicável apenas em valores baixos.
A fatoração equivale à divisão de um certo número sucessivas vezes. No momento da operação, caso o número não seja divisível pelo menor fator, deve ser mantido. Entenda no exemplo:
MDC (6,12 e 15) é:
6, 12,15 | 2
3, 6, 15 | 2
3, 3, 15 | 3
1, 1, 5 | 5
1, 1, 1
Na fatoração, deve-se dividir os valores pelo menor número possível até o resto ser igual a zero. No caso acima o único divisor dos três números foi o 3. Sendo assim, podemos concluir que o MDC ((6; 12 e 15) é 3.
MDC (50 e 20):
Exemplo de fatoração. (Foto: Educa Mais Brasil)
Neste caso, o 2 e 5 foram os únicos que dividiram os outros números de forma simultânea. Pela regra, o MDC é o quociente da multiplicação entre os fatores em comum encontrados:
MDC (50 e 20) = 2.5 = 10
Algoritmo de Euclides
O mecanismo mais simples para efetuar o Máximo Divisor Comum (MDC) é através do algoritmo de Euclides, pois não é necessário realizar fatorações. Ele funciona da seguinte forma:
Dado o MDC (160,64), temos:
Divide-se o número maior pelo menor para descobrir o resto (quantas vezes o 64 cabe dentro do 160):
160/ 64 = 32 (resto)
Em seguida, divide-se o menor valor pelo resto encontrado:
64/ 32 = 2 (divisão exata de resto igual a zero)
Quando chega a zero, o algoritmo termina e o penúltimo resto obtido é o MDC dos números iniciais. Desta forma, o Máximo Divisor Comum (MDC) de 160 e 64 é 32.
Características do Máximo Divisor Comum (MDC)
• Na fatoração de dois ou mais números, o MDC corresponde ao maior fator em comum entre eles. Em 90 e 54 o máximo divisor é 18.
• Os números são primos entre si quando o maior divisor entre eles é 1. Entre 13 e 7; 33 e 21, por exemplo, o único que divide ambos simultaneamente é 1.
• Entre dois números consecutivos, o MDC sempre será igual a 1, pois eles são primos entre si. Por exemplo: 28 e 29 (o máximo divisor neste caso é 1).
• Na fatoração de dois ou mais números, sendo um deles divisor de todos os outros, conclui-se que o próprio divisor será o resultado do MDC. Entre os números 3 e 6, o 3 é divisor de 6 e dele mesmo, logo é o Máximo Divisor Comum (MDC) de ambos.