Raiz do produto entre termos numéricos
A média geométrica é uma das três médias pitagóricas. Ela é definida pela raiz n-ésima do produto de n elementos dentro de um conjunto numérico positivo.
O seu cálculo remete a multiplicação de uma série de valores do conjunto e, em seguida, o resultado é colocado na raiz, que pode ser quadrada, cúbica e assim por diante. Isso acontece porque o índice dessa raiz é a quantidade de termos presentes na média.
Por exemplo, se encontramos a média entre três termos, o índice da raiz será 3, logo teremos uma raiz cúbica. Caso a questão apresente 6 termos, a raiz terá índice 6, ou seja, será uma raiz sexta e assim sucessivamente.
Assim, a média geométrica é caracterizada por:
Definição da média geométrica.
Sendo,
MG: média geométrica
n: elementos do conjunto
x1, x2, x3, ..., xn: valores dos elementos
Vejamos o exemplo:
Dado o conjunto {3,5,12}, qual a sua média geométrica?
Observem que o conjunto em questão é composto por três termos, logo devemos multiplicá-los e do resultado tiramos a raiz cúbica.
Resolução.
Como indica a tendência central através do produto entre os elementos do conjunto, esse tipo de média não admite números negativos. Afinal, raízes de valores negativos apenas são calculadas com o auxílio do número imaginário (√- 1), que integra os chamados números complexos.
Média Geométrica: aplicações
Um das principais aplicações da média geométrica é nos cálculos que englobam taxas de crescimento (proporcionais, variados e exponenciais), ou seja, valores que passam por sucessivos aumentos ou permanecem de forma contínua.
Sequência de Variações Percentuais
Na matemática financeira, principalmente em problemas com sequências de variações percentuais, o uso da MG é fundamental. Entenda melhor na resolução a seguir:
Exemplo 1 – Supondo que um supermercado rendeu no primeiro ano de funcionamento 30% e 8% no segundo. Qual foi o crescimento médio desse negócio?
Primeiro temos que encontrar as taxas de crescimento diante dos aumentos em cada ano. Como é uma geométrica aplicada em porcentagens, deve-se transformar as taxas percentuais em taxas unitárias:
8% = fator de crescimento de 1,08 (100% + 8% = 108% = 108/100 = 1,08)
30% = fator de crescimento de 1,30 (100% + 30% =130% = 130/100 = 1,30)
Substituindo na fórmula, temos:
GM = √1,08. 1,30
GM = √1,404
GM ≅ 1,1849
Então, o valor aproximado do crescimento médio do supermercado é de 11, 849% (1, 1849.100% = 11,849%). Digamos que o local vendeu 50 mil reais em determinado ano, vamos conferir a taxa média de crescimento:
Para 8% de aumento: 50.000. 1,1849 = 592,45
Para 30% de aumento: 592, 45.1,1849 = 701,99
Portanto, a taxa média de crescimento que e a empresa alcançou após os aumentos foi de 701,99.
Médias Pitagóricas
As médias pitagóricas são classificadas em três: média aritmética, média geométrica e média harmônica. Entre elas, a aritmética é a maior, pois é dividida em simples e ponderada.
A média aritmética simples é determinada pela soma de todos os elementos do conjunto e divisão do valor total de elementos encontrados. Ou seja:
M = (x1 + x2 + x3 + … + xn) /n
Sendo,
M: média aritmética
x: os valores quantitativos
n: quantidade de elementos do conjunto
Exemplo 2 – A média aritmética entre {9,12,15,21, 28} é:
x1: 9
x2: 12
x3: 15
x4: 21
x5: 28
n: 5, pois são cinco termos dentro do conjunto.
M = (x1 + x2 + x3 + … + xn) /n
M = (9 + 12 + 15 + 21+ 28) /5
M = 85/5 = 17
M = (9 + 12 + 15 + 21+ 28) /5
M = 85/5 = 17
Reparem que a média acima não é um dos termos do conjunto original. Isso ocorre porque o cálculo é para encontrar um valor único. Como eles podem ser grandes ou pequenos, são chamados de medidas de centralidade.
Já a média aritmética ponderada precisa do peso de cada termo do conjunto e, por isso, é dada pela soma dos produtos entre os termos e seus respectivos pesos, além da divisão do resultado com a soma de todos os pesos, isto é:
Mp = x1. p1 + x2. p2 + x3. p3 +… + xn. pn / p1 + p2 +p3 +… + pn
Exemplo 3 – A tabela a seguir aponta uma relação de notas. A média ponderada entre elas será:
| Notas | Pesos |
Avaliação 1 | 7,5 | 2 |
Avaliação 2 | 8,2 | 2 |
Avaliação 3 | 5,7 | 3 |
Mp = (7,5.2) + (8,2.2) + (5,7.3) / 2+2+3
Mp = 15 + 16,4 + 17,1 / 7
Mp = 48,5 / 7
Mp = 6,9
Mp = 15 + 16,4 + 17,1 / 7
Mp = 48,5 / 7
Mp = 6,9