Determinam o grau de variação entre os elementos de um conjunto
As medidas de dispersão são utilizadas para indicar o grau de variação dos elementos de um conjunto numérico em relação à sua média. Nesse texto trataremos de quatro medidas de dispersão: amplitude, desvio, variância e desvio padrão.
A fim de representar todos os valores do conjunto numérico, por meio de um único valor inteiro, a estatística também utilizada as medidas de tendência central, as quais já são conhecidas por muitos estudantes: média, moda e mediana.
Considere uma turma do ensino médio com 20 estudantes. A média das notas deles, referente à disciplina de matemática, será a calculada a partir da soma de todas as notas, dividido pela quantidade de estudantes, 20.
A média é uma medida de tendência central utilizada em cálculos de notas. (Foto: Intergalacticrobot)
Contudo, apenas a média não é suficiente para demonstrar o desenvolvimento dos estudantes ao longo do ano. Isso porque ela é apenas uma espécie de meta que eles deve alcançar para serem aprovados.
As medidas de dispersão, nesse caso, podem ser utilizadas para avaliar o progresso de um ou mais estudantes. Elas são capazes de indicar o quão distante está cada uma das notas desses estudantes da média obtida.
Medidas de dispersão
Amplitude - tal medida é aplicada em casos de comparação primária. Ela equivale a diferença entre o maior número e o menor número de um conjunto, ou seja, encontrar a amplitude basta subtrair o menor valor do maior valor.
Exemplo:
Ao final do ano letivo, os estudantes Joana e Marcos tiveram a mesma média final em matemática, 7. Em cada uma das quatro unidades as notas desses estudantes foram:
Joana: 8,0; 7,0; 7,0 e 6,0.
Marcos: 4,0; 5,0; 9,0 e 10,0.
A amplitude da nota de Joana foi: 8 (maior nota) - 6 (menor nota) = 2. Enquanto a amplitude da nota de Marcos foi: 10 (maior nota) - 4 (menor nota) = 6
Somente com essa medida não é possível saber qual dos dois estudantes teve obteve o melhor desempenho anual. Mas a partir dela, podemos notar que a variação das notas de Joana é menor do que a de Marcos.
Desvio - a partir dessa medida é possível saber a “distância” de cada uma informações numéricas até a média aritmética delas. O desvio é obtido a partir da subtração de cada um dos valores de um conjunto da média aritmética.
Exemplo:
A partir do exemplo anterior, vamos considerar as notas de Joana para realizar o cálculo do desvio:
d1 = 8,0 – 7,0 = 1,0
d2 = 7,0 – 7,0 = 0,0
d3 = 7,0 – 7,0 = 0,0
d4 = 6,0 – 7,0 = – 1,0
Variância - indica o quão distante está cada valor dos números do valor central. Dito isso, quanto menor a variância, mais próximos os valores da média; quanto maior a variância, mais distantes os valores estão da média.
A medida de variância é calculada a partir da média aritmética dos quadrados dos desvios ou, ainda, pela diferença entre a média aritmética dos quadrados e o quadrado da média aritmética. Para achar o seu valor, os seguintes passos devem ser realizados:
1. Realizar o cálculo da média das amostras;
2. Realizar o cálculo das diferenças de todos elementos em relação à média, ou seja, o desvio;
3. Elevar ao quadrado as diferenças, sejam elas positivas ou negativas;
4. Realizar a soma de todas as diferenças elevadas ao quadrado e então dividir pelo número de elementos da amostra.
Exemplo:
Considere o conjunto numérico: 10, 12, 14, 16, 18 e 20.
A média aritmética de tais elementos é obtida a partir do cálculo:
Ma = (10+12+14+16+18+20)/ 6 = 90/6 = 15
A próxima etapa consiste em encontrar o desvio:
d1 = 10 – 15 = -5
d2 = 12 – 15 = -3
d3 = 14 – 15 = -1
d4 = 16 – 15 = 1
d5 = 18 – 15 = 3
d6 = 20 – 15 = 5
Por último, a variância é:
V = [(-5)2 + (-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 +52] / 6 = 70 / 6 = 11,67
Desvio padrão - tal medida refere-se a raiz quadrada positiva da variância.
Exemplo:
Com base no exemplo anterior, o desvio padrão corresponde à raiz quadrada de 11,67:
dp = √var
11,67 = 3,42