Operação matemática relacionada à multiplicação
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é um tipo de operação matemática utilizada para encontrar o menor número positivo, diferente de 0 (zero), que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números. O MMC é utilizado, por exemplo, na soma e subtração de frações - quando é necessário um denominador comum.
Por meio de uma exemplificação teórica, considere o conjunto A, formado pelos múltiplos de um número natural, positivo e diferente de 0. Também há o conjunto B, formado por outro número, mas com as mesmas características de A. O menor elemento comum dentro dos conjuntos A e B é o MMC.
Os múltiplos de qualquer número podem ser obtidos através da multiplicação dele pelos números naturais. Observe o exemplo:
3 x 0 = 0; 3 x 1 = 3; 3 x 2 = 6; 3 x 3 = 9; 3 x 4 = 12; 3 x 5 = 15; 3 x 6 = 18...
5 x 0 = 0; 5 x 1 = 5; 5 x 3 = 15; 5 x 4 = 20; 5 x 5 = 25; 5 x 6 = 30; 5 x 7 = 35...
Em M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18…} e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}, o menor número da interseção desses dois conjuntos é 15, logo ele é MMC.
O mesmo resultado será obtido caso seja realizada uma comparação na tabuada:
3 x 0 = 0 | 5 x 0 = 0 |
3 x 1 = 3 | 5 x 1 = 5 |
3 x 2 = 6 | 5 x 2 = 10 |
3 x 3 = 9 | 5 x 3 = 15 |
3 x 4 = 12 | 5 x 4 = 20 |
3 x 5 = 15 | 5 x 5 = 25 |
3 x 6 = 18 | 5 x 6 = 30 |
3 x 7 = 21 | 5 x 7 = 35 |
3 x 8 = 24 | 5 x 8 = 40 |
3 x 9 = 27 | 5 x 9 = 45 |
3 x 10 = 30 | 5 x 10 = 50 |
As duas técnicas utilizadas para identificar o MMC são bem diretas. Contudo para números grandes ou com mais de dois números, não são adequadas. Para esses casos, o ideal é fazer a fatoração, que consiste na decomposição dos números em fatores primos.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) por fatoração
De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, os elementos que pertencem ao conjunto de números naturais, maiores que 1, podem ser decompostos em um produto de dois ou mais fatores. Essa característica é chamada de forma fatorada do número.
Para fazer a decomposição de um número é necessário encontrar os números primos. Isso é feito através de sucessivas divisões, por números que dividam pelo menos um dos números decompostos, até que todos se sejam igual a 1.
Se um dos elementos não for divisível por esse número primo, ele é repetido no lugar do resultado. Quando for impossível fazer divisões (ao chegar em 1), todos os fatores primos multiplicados entre si terá como produto o MMC.
Veja o exemplo abaixo para encontrar o MMC dos números 10, 26 e 144:
Decomposição em fatores primos.
Sendo assim, o MMC de 10, 26 e 144 é 9.360.
Método alternativo
O Teorema Fundamental da Aritmética também afirma que os números primos podem ser considerados como os elementos atômicos, visto que, combinados dão origem a um número composto.
Verifique abaixo o grupo de números decompostos de forma individual:
Calculo alternativo MMC
45 = 20 x 3² x 5¹
120 = 2³ x 3¹ x 5¹
75 = 20 x 3² x 5²
Logo, o MMC é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo de átomo diferente:
MMC(45,120,75) = 2³ + 3² + 5² = 8 x 9 x 25 = 1.800
Uso do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) em frações
Na subtração ou soma de frações, os denominadores precisam ser iguais para efetuar a operação matemática. Para tal, o MMC é utilizado com objetivo de igualar os denominadores. Observe o exemplo abaixo.
Para solucionar a operação 2/3 + 7/2, as frações devem ter os denominadores igualados. O resultado obtido foi 6, que será considerado o novo denominador. Logo depois, ele será dividido pelo antigo denominador e multiplicado pelo numerador correspondente:
Soma de frações.
Na subtração 3/5 – 2/7 – 7/6, o princípio utilizado é o mesmo:
Subtração de frações.