Formados por uma parte real e uma imaginária
Os números complexos são representados na forma algébrica como Z = a + bi, sendo “a” a parte real e “b” a parte imaginária. Tais números formam um conjunto que engloba, por exemplo, as raízes quadradas de números negativos – considerada por matemáticos antigos como insolúveis ou inexistentes.
Você ainda tem dúvida como os conjuntos numéricos se organizam? Então confira a imagem abaixo, nela é possível ver os diversos grupos que se unem a partir de uma característica em comum.
Os principais conjuntos numéricos. (Foto: Educa Mais Brasil)
• Conjunto dos números naturais (N): composto pelos números inteiros, não-negativos e o zero;
• Conjunto dos números inteiros (Z): além dos elementos dos números naturais, esse conjunto engloba os números negativos;
• Conjunto dos números racionais (Q): formado por números que podem ser escritos em frações na forma a/b, onde a e b são números inteiros e diferentes de zero;
• Conjunto dos números irracionais (I): composto pelos números infinitos e não periódicos, ou seja, aqueles que não podem ser representados na forma de frações;
• Conjunto dos números reais (R): engloba aos números racionais e irracionais e também os naturais e os inteiros;
• Conjunto dos números complexos (C): esse conjunto engloba todos os outros mencionados e contempla as raízes quadradas de números negativos.
Breve histórico
Na medida que a matemática foi se desenvolvendo, eventualmente surgiam resultados que levavam a radicais negativos. Nesses casos concluía-se que o problema não tinha solução. Muitos matemáticos se debateram com esse problema e tentaram resolvê-lo.
Após a contribuição de muitos estudiosos, Raphael Bombelli, por volta de 1572, estava envolvido em uma disputa matemática. A partir de uma equação do tipo x³ -15x – 4 = 0, ele sabia que o resultado era x =4, contudo não haviam cálculos válidos a partir de números reais capazes para chegar esse resultado.
Com isso ele percebeu a existência de números até então não definidos, o que na época lhe pareceu estranho:
“Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras, que aparece no capítulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um número. ... A princípio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei até que achei uma prova”.
Entendendo os números complexos
A forma algébrica dos números complexos é representada por Z = a + bi. Na fórmula, o “i” é denominado de unidade imaginária e “a e b” são números reais chamados, respectivamente, de parte real Z e parte imaginária de Z.
Além disso, é importante saber que:
• a é um número real representado por a = Re (Z)
• b é um número real representado por b = Im (Z)
Confira alguns exemplos:
• Z = 8 + 5i | Re(Z) = 8 e Im(Z) = 5
• Z = -17 +2i | Re(Z) = -17 e Im(Z) = 2
• Z = 5i | Re(Z) = 0 e Im(Z) = 5
Operações com números complexos
Adição e subtração
As operações são realizadas entre termos semelhantes, ou seja, parte real com parte real e a parte imaginária com parte imaginária. Essa condição é válida para adição e subtração.
Dados os números complexos Z1 = a + bi e Z2 = c + di, na adição entre eles obtém-se:
Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di)
Z1 + Z2 = a + c + bi + di
Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i
Já na subtração, tem-se:
Z1-Z2 = (a+bi) - (c+di)
Z1 – Z2 = a – c + bi – di
Z1-Z2 = (a-c) + (b-d)i
Multiplicação
O cálculo da multiplicação é realizado de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
Dados os números complexos Z1 = a + bi e Z2 = c + di, na multiplicação entre eles o resultado é:
Z1. Z2 = (a + bi)·(c + di)
Z1. Z2 = ac + adi + bci + bdi²
Z1. Z2 = ac + adi + bci – bd
Z1. Z2 = ac – bd + adi + bci
Z1. Z2 = ac – bd + (ad + bc)i
Divisão
A operação da divisão merece uma atenção especial, isso porque ela é realizada através da multiplicação do dividendo e do divisor pelo conjugado do divisor. Na expressão z1=a+bi, o conjugado será z1=a-bi.
Dados Z1 = a + bi e Z2 = c + di, na divisão entre eles obtém-se:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]
Aplicação
Exemplo 1: Dados os números Z1 = 3 + 2i e Z2 = 5 – 3i, a soma entre eles resulta em:
Z1+Z2 = (3+5) + (2-3)i
Z1+Z2=8-i
Exemplo 2: Dados os números 2+5i e z2=1+3i, a multiplicação entre eles resulta em:
z1·z2 = (2+5i) + (1+3i)
z1·z2 = 2·1+2·3i + 5i·1+5i·3i
z1·z2 = 2+6i + 5i+15i²
z1·z2 = 2+6i + 5i-15
z1·z2 = (2-15) + (6+5)i
z1·z2 = -13+11i