Números Irracionais

Decimais não exatos e infinitos

Os números irracionais são elementos que não podem ser colocados no formato de frações, pois, nesses casos, os numeradores e denominadores precisam ser valores inteiros.

Esses números caracterizam-se pela infinidade de casas decimais e ausência de periodicidade. Além disso, não existem elementos em comum entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos irracionais, mesmo sendo integrantes do conjunto dos números reais.

São exemplos de irracionais:

√3 = 1,73205080756887729…
√8 = 2,82842712474619...
√13 = 3,60551275463989...
√71 = 8,426149773176359...

Reparem que os valores dentro das raízes são naturais, porém originam quadrados imperfeitos. Isso significa que toda raiz quadrada que não resulta em um valor exato é tida como irracional.

Dízimas periódicas

As dízimas periódicas às vezes são confundidas com números irracionais, algo matematicamente incorreto. Apesar da formação com continuidades decimais infinitas, assim como os irracionais, as dízimas podem ser escritas em fração.

Como são dadas pelas divisões entre números inteiros, elas são racionais. Outro fator que diferencia os conceitos é a periodicidade na repetição, pois, a partir de alguma casa decimal, as dízimas passam a repetir infinitamente o mesmo algarismo, o que não ocorre com os irracionais. Entenda melhor na tabela a seguir:

Números Irracionais	Dízimas Periódicas
√7 = 2,645751311064...	0,3333333333…= 1/3
√18 = 4,242640687119285...	0,555555555...= 5/9
√30 = 5,477225575051661...	0,23232323...= 23/99
√75 = 8,660254037844386...	0,57777... = 32/9

Sendo assim, as dízimas decimais não são irracionais, já que sempre apresentam um período de continuidade dos mesmos valores.

Quais são os números irracionais?

Para além da definição decimal e não periódica, os números irracionais podem ser classificados em algébricos ou transcendentes.

Enquadra-se como algébricos os números reais que servem de raízes para equações polinomiais de coeficientes inteiros. Por exemplo, a √2 é tida como algébrica porque é a raiz da equação x²- 2 = 0; e 2 é a raiz de x² - 4 = 0.

Já os algarismos transcendentais não solucionam as equações polinomiais de coeficientes inteiros, por isso são irracionais e não podem ser transformadas em fração. Os transcendentes mais conhecidos são:

Número Pi (p)

Identificado como um dos irracionais mais famosos, o número pi é o resultado da divisão entre o perímetro de uma circunferência e seu próprio diâmetro, sendo o valor aproximado igual a 3,14.

Número de Neper (e)

Também conhecido como constante exponencial, o número de Neper serve de base para os logaritmos naturais. Irracional e da categoria transcendente, seu valor aproximado é de 2,718281.

Número Áureo (F)

Também chamado de número de ouro, é uma constante algébrica simbolizada pela letra grega Phi. Com valor aproximado igual a 1,61803, tornou-se foco de estudo da matemática por ser usado desde a Antiguidade em vertentes artísticas, especialmente nas pinturas renascentistas. Além disso, acredita-se que o número mantém relações com os elementos da natureza.

Os números reais

O conjunto dos números reais engloba os números racionais e irracionais, no entanto, em virtude da infinidade de casas decimais, há mais irracionais dentro desse conjunto.

Como dito anteriormente, não existem elementos em comum entre o conjunto dos racionais e o conjunto dos irracionais. Isso significa que determinado número real e racional jamais será também irracional, e vice-versa.

Números Irracionais x Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras, no qual afirma que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa, deparou-se com uma dúvida quando a figura plana apresentou catetos de medidas iguais a 1. Dessa maneira, não haveria valor racional para hipotenusa.

Nesse momento fez-se necessário novos estudos em relação aos números, principalmente as suas classificações. O primeiro racional descoberto foi a raiz quadrada de 2, pois ao observarem um quadrado dividido por uma diagonal em dois triângulos retângulos, perceberam que o tamanho dessa diagonal era um número ainda desconhecido.

O cálculo foi realizado da seguinte forma:

Descoberta dos irracionais pelo Teorema de Pitágoras. (Foto: Educa Mais Brasil)

A partir de então, começaram as definições que conhecemos até o momento sobre os irracionais: decimais, infinitos, sem sequências e não podem ser representados pelas frações por serem indivisíveis para números inteiros.

Você sabia?

• As operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre irracionais podem resultar em valores racionais. Exemplos: √2 + (1 – √2) = 1; √6.√6 = √36 = 6; √10/√2 = 5.

• O número transcendente áureo (número de Euler) também surge da relação numérica presente na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...).