Números que possuem apenas dois divisores
Os números primos representam o conjunto dos números naturais, maiores que 1, que possuem apenas dois divisores (1 e ele próprio). Exemplo: 2, 5, 7, 11, etc. Já os números, maiores que 1, com mais de dois divisores são chamados de números compostos.
Compreenda:
• 1 é divisível apenas por ele mesmo, portando não é um número primo.
• 2 é divisível apenas por 1 e 2, portanto é um número primo;
• 7 é divisível apenas por 1 e 7, portanto é um número primo;
• 8 é divisível 1,2,4 e 8, portanto não é um número primo;
Histórico dos números primos
Tais números foram descobertos por volta de 530 a.C, na Escola Pitagórica - fundada pelo filósofo e matemático Pitágoras. No local, os participantes estudavam os números perfeito e já tinham uma noção de primalidade.
Naquela época, os números primos eram conhecidos como lineares, por serem representados por pontos agrupado em uma linha. Enquanto os números não-primos (compostos) eram representados por pontos formando retângulos, dando a ideia que eram formados a partir dos lineares.
Organização números primos e compostos. (Foto: Wikipédia)
Um dos trabalhos mais importes foi realizado pelo escritor e matemático Euclides de Alexandria. Na preposição 20, do livro IX, que compõe a Teoria dos Números, ele afirma: "Números primos são mais do que qualquer quantidade fixada de números primos." Corroborando a ideia de que os números primos são infinitos.
Regras da divisibilidade
Se o conjunto dos números naturais é infinito, como identificar os números primos? Uma alternativa é seguir as regras da divisibilidade. Relembre:
Divisibilidade por 2: todos números pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8).
Exemplo: 34/2 = 17
Divisibilidade por 3: números em que a soma dos seus algarismos resultarem em um número divisível por 3.
Exemplo: 45/3 = 15
Divisibilidade por 4: números pares e metade do último algarismo adicionado ao penúltimo for um número par ou as duas últimas casas forem terminadas em zero.
Exemplo: 300/4 = 75
Divisibilidade por 5: números terminados em 0 ou 5.
Exemplo: 105/5 = 21
Divisibilidade por 6: números pares e também divisíveis por 3.
Exemplo: 66/6 = 21
Divisibilidade por 7: números que a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.
Exemplo: 203/7 = 29, pois 20 - 2.3 = 20 – 6 = 14
Para identificar se um número é primo, de acordo Crivo de Erastóstenes, basta elaborar uma tabela com números de 1 a 100 e excluir aqueles que se enquadrem nas regras da divisibilidade.
Observação: o número 1 é divisível apenas por ele mesmo, logo não é considerado um número primo. O número 2 também é um exceção, pois ele é o único número primo que é par.
Decomposição em fatores primos
Segundo o Teorema Fundamental da Aritmética, os números naturais maiores que 1, podem ser decompostos em um produto de dois ou mais fatores, apresentando a forma fatorada do número.
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
32 = 25
50 = 2 x 5 x 5
50 = 2 x 5²
28 = 2 x 2 x 7
28 = 2² x 7
O processo de decomposição de um número segue algumas etapas. Primeiro, é preciso encontrar os números primos que dividem o número a ser decomposto. A segunda etapa é realizar sucessivas divisões até que o número se iguale a 1.
Na terceira e última etapa, todos os divisores são escritos de maneira linear e um é multiplicado pelo outro. Esse processo parece complicado, mas se exemplificado se torna mais fácil. Observe abaixo a decomposição do número 112:
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
112 = 24 x 7
Obtemos o produto: 24 x 7, em que os dois fatores são números primos. Esse resultado foi alcançado após contínuas divisões:
Exemplo de decomposição. (Foto: Educa Mais Brasil)
Tabela dos números primos (1 a 100)
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| 13 | 17 | 19 | 23 | 29 |
| 31 | 37 | 41 | 43 | 47 |
| 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
| 73 | 79 | 83 | 89 | 97 |