Engloba os números racionais e irracionais
Os números reais formam um conjunto que engloba aos números positivos, negativos, decimais, fracionários, zero, além das dízimas periódicas e não periódicas. Esse conjunto é considerado o mais completo e é capaz de realizar operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão.
O conjunto dos números reais é representado pela letra R e engloba aos conjuntos racionais (Q), os irracionais (I), os naturais (N) e os inteiros (Z). Você sabe como eles se organizam? Se não, confira a imagem abaixo:
Conjuntos numéricos. (Foto: Guia Enem)
- Conjunto dos números naturais (N): formado pelos números positivos e o zero. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
- Conjunto dos números inteiros (Z): além dos elementos dos números naturais, esse conjunto integra os números negativos. Exemplo:
Z = {...,-4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4...}
- Conjunto dos números racionais (Q): composto pelos números inteiros e aqueles que podem ser escritos como frações a/b, sendo a e b números inteiros e diferentes de zero. Exemplo:
Q = {... -3; -2,2; -1, 0, 1/2; 1; 1,7; 2, 3 ...}
- Conjunto dos números irracionais (I): formado pelos números infinitos e não periódicos, isto é, aqueles que não podem ser representados na forma fracionária. Exemplo:
I = { -3,345...;0; 1, v5...}.
- O conjunto dos números complexos engloba ao conjunto dos números reais, não o oposto. Ela representado na forma algébrica como Z = a + bi, sendo “a” a parte real e “b” a parte imaginária. Um dos seus elementos são as raízes quadradas de números negativos.
Afirmações sobre os números reais
Os conjuntos numéricos relacionam-se uns com os outros. Em referência aos números reais, podemos fazer as seguintes afirmações:
1- Todo número natural é ao mesmo tempo um número real, pois os números naturais também são números racionais;
2- Todo número inteiro é ao mesmo tempo um número real, pois os números inteiros também são números racionais;
3- Todo número decimal é ao mesmo tempo um número real, pois os números decimais pertencem ao conjunto dos números racionais ou dos números irracionais;
4- Toda raiz, quadrada ou não, é número racional ou irracional. Deste modo, pertence ao conjunto dos números reais.
Reta numérica
A reta numérica é uma forma gráfica de representar os números reais. Essa linha é infinita, segue em qualquer direção e tem o zero como ponto central. À direita estão os números maiores que zero (positivos) e à esquerda da estão os números menores que Zero (negativos)
Para cada número que pertence ao conjunto dos números reais, existe apenas um ponto nessa linha. Observe a imagem abaixo, ela indica os pontos onde estão localizados os números inteiros de -3 até 3.
Reta numérica. (Foto: Wikipédia)
Propriedades dos números reais
Os números reais submetem-se a cinco propriedades que estão relacionadas com operações matemáticas da adição e multiplicação. Confira abaixo:
- Comutativa: o modo de organização dos números não altera o resultado da operação. Dito isso, dados os números a e b, essa propriedade é expressa como:
a + b = b + a e a.b = b.a
- Associativa: as operações que compreendem dois ou mais números, devem ser resolvias de dois a dois. O reagrupamento desses números não altera o resultado. Dito isso, dado os números a, b e c, essa propriedade é expressa como:
(a + b) + c = a + (b + c) e a(bc) = (ab)c
- Distributiva: essa propriedade aplica-se às expressões algébricas que envolvem duas operações ao mesmo tempo. Fica definido que, a soma dos produtos será igual ao produto da soma, com base no cálculo:
a (b + c) = ab + ac e (b + c) a = ba + ca
- Elemento neutro: essa operação refere-se aos elementos que não geram influência dentro de uma operação. Se na soma esse elemento corresponde a 0 e na multiplicação o elemento neutro é 1, temos:
a + 0 = a e a .1 = a
- Elemento inverso: para essa propriedade é aplicada a seguinte regra: “para todo número real existe um inverso”. O resultado da operação entre os dois números sempre será um elemento neutro.
• A soma de um número a com o seu inverso -a é expressa por: a+(-a) = 0;
• A multiplicação de um número a com o seu inverso -a é expressa por: a.(– a) = 1, em que – a = 1/a