Figura com faces laterais triangulares e uma base poligonal
A pirâmide é uma figura geométrica que pertence ao grupo dos poliedros – sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces. Tal figura possui faces laterais triangulares e uma base poligonal, que pode apresentar vários formatos.
Pirâmide. (Foto: Pixabay)
Dentro da grande área da geometria, a pirâmide é objeto de estudo na geometria espacial. Ela corresponde ao conjunto de segmentos de reta, com extremidades em um polígono e em um ponto externo ao plano que contém esse polígono.
Ainda de acordo com o número de lados da sua base, as pirâmides podem ser classificadas como:
• Triangular (tetraedro): base com o formato de um triângulo;
• Pentagonal: base com o formato de um pentágono;
• Hexagonal: base com o formato de um hexágono;
• Heptagonal: base com o formato de um heptágono;
• Octogonal: base com o formato de um octógono;
Elementos da pirâmide
A pirâmide é formada pelos seguintes elementos:
• Base: região plana poligonal que sustenta a figura.
• Face: polígono que pode ser notado na figura;
• Face lateral: face que não é a base;
• Arestas: segmentos de reta formados na interseção de duas faces;
• Arestas laterais: arestas formadas pelo encontro de duas faces laterais;
• Arestas da base: lados da base da figura;
• Vértices: pontos de encontro entre as arestas;
• Vértice da pirâmide: ponto fora ao plano que está a base da pirâmide;
• Altura: distância entre o vértice da pirâmide ao plano da base;
• Secção transversal: intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base;
• Apótema: altura de uma face lateral com relação à base de uma pirâmide regular.
Elementos da pirâmide. (Foto: Educa Mais Brasil)
Tipos de pirâmides
Em relação à inclinação do vértice da pirâmide ela pode ser:
Reta - a projeção ortogonal de vértice coincide com o ponto que possui a mesma distância dos vértices do polígono da base. Todas as arestas laterais são congruentes;
Oblíqua - a projeção ortogonal do seu vértice não coincide com o vértice da base. As arestas laterais não são congruentes;
Regular – a base é um polígono regular. Para tal condição, todos os lados da figura possuem medidas iguais e todos os ângulos são congruentes.
A pirâmide regular faz parte do grupo dos Poliedros de Platão Sólidos de Platão. Esse grupo também é composto pelo hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro e todas essas figuras obedecem as seguintes regras:
1. As faces da figura devem possuir a mesma quantidade de arestas;
2. Os vértices da figura devem ter a mesma quantidade de arestas;
3. Satisfazem a Relação de Euler V - A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
Aplicação
Sabe-se que pirâmide quadrangular possui cinco vértices, cinco faces e oito arestas. No cálculo abaixo, podemos perceber como a Relação de Euler aplica-se a essa figura:
V- A + F = 2
5 – 8 + 5 = 2
Fórmulas da pirâmide
Área total - representa a união de todas as faces. Sua fórmula é: At: Al + Ab
Sendo,
Al: Área lateral (soma das áreas dos triângulos das faces laterais)
Ab: Área da base (área do polígono da base)
Volume – corresponde a um terço do produto da área da base pela altura. Sua fórmula é: V=1/3 Ab.h
Sendo,
Ab: Área da base
h: altura
Relação notável – aplica-se apenas às pirâmides regulares. Sua é representada por: g² = h² + m²
Sendo,
h: altura
g: apótema da pirâmide ou altura da face
l: lateral da base
a: aresta lateral
Tronco de pirâmide
O tronco da pirâmide corresponde a uma figura geométrica gerada por uma secção (corte) transversal na pirâmide. A nova figura é formada pelos seguintes elementos:
• Base maior: base da figura original;
• Base menor: polígono formado pelo corte;
• Altura: distância entre a base maior e a base menor;
• Demais elementos da pirâmide: arestas, arestas laterais, arestas da base, vértices, faces, faces laterais etc.
A matemática das Pirâmides do Egito
As Pirâmides do Egito são os objetos mais famosos que possuem o formato piramidal. A história da construção delas ainda é um mistério, pois naquela épocas as tecnologias eram escassas e a matemática ainda estava se desenvolvendo.
Na construção das Pirâmides, os egípcios utilizaram vários conceitos matemáticos como ângulo reto, relações de razão e proporção, a proporção áurea e trigonometria. Nesse último item, observa-se as que as relações entre suas medidas são aplicações do Teorema de Pitágoras.
Pirâmide e geometria
A pirâmide é considerada uma figura geométrica espacial, isso acontece por que a ela possui mais de duas dimensões. Ou seja, a pirâmide possui volume, altura, largura e comprimento.
A pirâmide é uma figura geométrica espacial. (Foto: Wikipédia)
Na matemática a figura é estudada na geometria, e, na geometria, ela é estudada pela geometria espacial. Figuras com duas dimensões são objeto de estudo da geometria plana.
A geometria surgiu a muitos anos, ainda durante a o Egito Antigo. Porém, foi Euclides de Alexandria o responsável por unir os vários conhecimentos sobre a área de forma que fossem possíveis o seu aproveitamento por todo o mundo.
O livro "Os Elementos" foi o resultado desse trabalho, dando a Euclides o título de "pai da geometria". A área pode ser chamada ainda de geometria euclidiana.