Sequência de números ordenados por uma razão
A progressão aritmética (PA) representa uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e o seu antecessor possui o mesmo valor. A diferença comum entre esses termos é dada por uma constante, “r”, chamada de razão da progressão aritmética.
Já na progressão geométrica (PG), a série é dada pela divisão de um termo com o seu anterior, exceto o primeiro, resultando na razão constante "q". Tome cuidado para não confundir esses dois tipos de progressão. Então, para esclarecer o que é progressão aritmética considere a sequência abaixo:
Na PA (2, 4, 6, 8, 10...) cada número representa um termo e a razão da progressão aritmética é 2, pois 4 - 2 = 2, 6 - 4 = 2 e assim por diante. Essa sucessão, representada pelas reticências, indica que essa é uma PA infinita.
Já a sequência (1,6,11,16,21), cuja razão da progressão aritmética é 5, é caracterizada como uma PA finita, pois o número de termos é limitado e não existem reticências que indiquem a continuidade deles.
O príncipe Gauss e a progressão aritmética
O princípio da progressão aritmética parece fácil, mas você sabe quem foi o pioneiro desse fundamento lógico? Segundo a história, Carl Friedrich Gauss com apenas dez anos de idade encontrou a fórmula do somatório dos termos da PA, representado por:
Fórmula soma dos termos.
Onde,
Sn: soma dos termos
a1: primeiro termo
an: termo da enésima posição
n: posição que o termo ocupa
Aplicação da soma dos termos
Na PA infinita podemos observar que a soma do primeiro e do último termo é igual à soma do segundo termo com o penúltimo termo e assim ordenadamente. E somar cada dupla de termos, encontramos sempre o mesmo valor:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an,
a1 + an= a2 + an-1 = a3 + an-2
Agora vamos encontrar soma dos 100 primeiros termos da PA (1,2,3,4,5...) utilizando a fórmula do somatório:
Aplicação soma PA.
Termo geral
O enésimo termo de uma PA, o an, é obtido por meio da seguinte fórmula:
an = a1 + (n-1).r
Onde,
a1: primeiro termo
an: termo que se quer descobrir
n: posição que o termo ocupa
r: razão
Tendo em vista que a razão da PA é constante, ela pode ser encontrada a partir de dois termos consecutivos:
r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 ... an - an-1
Por exemplo, na PA (4, 7, 10, 13, 16) iremos encontrar a sua razão:
r = a2 - a1
r = 7- 4
r = 3
Quando quisermos encontrar o valor do segundo termo utilizamos a fórmula:
Já para encontrar o terceiro termo da PA nos baseamos na fórmula anterior:
a2 = a1 + r
Já para encontrar o terceiro termo da PA nos baseamos na fórmula anterior:
a3 = a2 + r
Se quisermos encontrar termos não explícitos na sequência numérica utilizamos a fórmula do termo geral, conforme o exemplo abaixo:
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...) vamos encontrar o seu 10º termo:
r = a2 - a1
r = 4 - 2
r = 2
Encontrada a razão, vamos substituir na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1).r
a10 = 2 + (10-1).2
a10 = 2 + 9.2
a10 = 20
Propriedades da progressão aritmética
1ª propriedade: em uma PA finita, a soma dos dois termos equidistantes é igual à soma dos extremos.
1ª propriedade. (Foto: Educa Mais Brasil)
2ª propriedade: tendo em vista os três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é igual a média aritmética dos outros dois termos.
2ª propriedade. (Foto: Educa Mais Brasil)
3ª propriedade: em uma PA finita e ímpar, o termo do meio será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.
3ª propriedade. (Foto: Educa Mais Brasil)
Tipos de progressão aritmética
Crescente
Uma PA é dita crescente se cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo anterior. Nesse caso a razão é sempre maior que zero. Exemplo:
(-1, 0, 1, 2, 3...) r = 1
Decrescente
Uma PA decrescente cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo anterior. Nesse caso a razão é sempre menor que zero. Exemplo:
(-3, -6, -9, -12 …) r = -3
Constante
Uma PA é constante ou estacionária quando todos os termos são iguais. Nesse caso a razão é sempre igual a zero. Exemplo:
(1,1,1,1,1...) r = 0