Progressão Geométrica (PG) é uma continuidade numérica em que a divisão de um termo com o seu anterior, exceto o primeiro, resultará em um único valor, a chamada razão (q), ou seja:
A multiplicação da própria razão (q) também define uma sequência numérica da progressão. Entenda nos exemplos:
PG: (5, 25, 125, 625, …)
Nesta progressão, o valor que determina seu consecutivo é o cinco, ou seja, a sequência é uma PG de razão igual a cinco (q = 5), pois 5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; 125 x 5 = 625 e assim sucessivamente.
Já na PG: (2,4,8,16,32,64, ...) a razão é 2 (q =2), pois 2 x 2 = 4; 4 x 2= 8; 8 x 2 =16 e assim consecutivamente. A razão de uma progressão geométrica é composta por valores constantes e racionais (positivos, negativos e frações), com exceção do zero.
Existe outro tipo de série numérica, a progressão aritmética. Nessa categoria, cada termo é dado pela soma do número anterior, resultando na razão (r).
Tipos de PG
As progressões geométricas são classificadas de acordo com o valor da razão. Elas se dividem em crescentes, decrescentes, oscilantes e permanentes.
Progressão crescente
Nesse tipo de progressão geométrica a razão é maior que zero e feita por números crescentes:
(9, 27, 81, 243, 729...), no qual q = 3
PG decrescente
Na progressão decrescente a razão é maior ou diferente de zero, e os números da sequência serão menores que seus antecessores, ou seja, termos em forma decrescente:
PG: (- 6, -36,- 216, - 1296 ...) no qual q = 6
PG oscilante
Na progressão oscilante a razão será negativa e a continuidade vai variar entre termos positivos e negativos:
PG:(2, -4, 8, -16, 32, 64…) no qual q = - 2
PG constante
Na progressão geométrica constante a razão sempre será igual a 1. Portanto, a sequência terá o mesmo valor.
(6,6,6,6,6...) no qual q = 1
PG quase nula
Nessa progressão apenas um elemento da sequência será diferente de zero:
PG: (2,0,0,0,0, 0...)
Termo Geral
Aplica-se a fórmula abaixo para encontrar os valores de uma determinada progressão geométrica:
Fórmula do termo geral.
Sendo:
an: valor desconhecido
a1: primeiro termo da sequência geométrica
q: razão elevada ao número desconhecido menos 1
Vamos determinar o 30° termo da progressão geométrica com q = 2 e de sequência inicial 6.
PG: (6,12, 24, 48, 96,192...)
Aplicação da fórmula.
Veja outro exemplo:
Uma progressão com a = 4 e q = 3 o 5° termo será:
PG: (4, 12, 36,108...)
Aplicação da fórmula dos termos.
Soma dos Termos
A soma dos números de uma progressão geométrica é dada pela seguinte fórmula:
Fórmula da soma dos termos.
Sendo:
Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência geométrica
q: razão
n: número de termos da PG
Então vamos calcular a soma dos 7 primeiros termos da PG: (25, 125, 625...):
a1 = 25 ; q = 5 ; n = 7
Aplicação da fórmula da soma.
Já a soma dos valores de uma progressão infinita – quando a razão é entre -1 e 1 – necessita da fórmula a seguir:
Fórmula da PG infinita.
Desta forma, a soma dos termos de uma PG infinita (1, 1/3 , 1/9 ...) é:
a1 = 1; q = 1/3
Soma da PG infinita.
Fora as somas, é possível encontrar o produto dos termos de uma progressão. Para isso, basta aplicar a fórmula:
