Estudo dos radicais
Radiciação é o método matemático inverso à potenciação. Enquanto os cálculos com potências são determinados pela multiplicação de elementos iguais sucessivas vezes, a radiciação procura quais são esses elementos.
Em 11², por exemplo, temos: 11² = 11.11 = 121. Neste caso, dizemos que a raiz quadrada de 121 é igual a 11. Isto é, um termo que multiplicado por ele mesmo duas vezes resultou em 121.
A formação de uma raiz é:
Estrutura da radiciação.
Observação: Se o radicando for negativo e o índice um valor par, não existe solução para essa raiz dentro do conjunto dos números reais.
Regras da Radiciação
1° propriedade
Quando o radical possui índice igual ao expoente do radicando, o resultado dessa raiz será igual à base do radicando:
Primeira propriedade.
Essa propriedade é aplicável sempre que o índice for um número natural e o radicando não negativo. Além disso, se o radicando for negativo e o índice ímpar.
2° propriedade
A raiz não sofre interferência com a multiplicação ou divisão do índice e expoente do radicando pelo mesmo valor.
Segunda propriedade.
Porém, os valores de a, m, n e p precisam ser maiores que 1 e q o divisor de m e n.
3° propriedade
Para simplificar a raiz de uma raiz, basta multiplicar seus índices:
Terceira propriedade.
4° propriedade
O produto de radicais com mesmo índice é igual ao resultado da multiplicação dos radicandos:
Quarta propriedade.
Essa propriedade somente é válida quando o índice é maior que 1 e os radicais algarismos reais. Se os radicais forem maiores ou iguais a zero é necessário que o índice seja par.
5° propriedade
O quociente de radicais com mesmo índice é igual ao resultado da divisão dos radicandos:
Quinta propriedade.
A quinta regra é válida para n maior que 1 e radicandos números reais, sendo a maior que zero e b maior que 1.
Simplificação de Radicais
Os cálculos da radiciação podem ser simplificados através de algumas mudanças em seus radicais. Vejamos como funciona:
Dado a ∛216, temos:
Primeiro efetue a decomposição dos fatores primos:
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1
Depois coloque o resultado da fatoração em potência:
216 = 2.2.2.3.3.3 = 2³. 3³
Por fim, aplique as propriedades da radiação com a potência já aplicada no radical:
Aplicação das propriedades da radiciação.
Operações com Radicais
As operação matemáticas básicas também servem na radiciação. O método mais recorrente é pela fatoração/ decomposição de números primos, mas quando os radicais são semelhantes os cálculos são simples.
Soma e subtração
A identificação da igualdade ou disparidade entre os índices e radicandos é fundamental para a soma e subtração. Ou seja:
15 ⁶√3 + 63 ⁶√3 = 78 ⁶√3
133 ⁵√13 – 95 ⁵√13 = 38 ⁵√13
Com a presença de radicais diferentes aplica-se a decomposição:
2√3 + 5 √12 =
2√3 + 5 √ (2.2.3) =
2√3 + 5 √ 2². 3 =
2√3 + 5 √2². √3 =
2√3 + 5 . 2 √3 =
2√3 + (5.2) √3 =
2√3 + 10 √3 = 12√3
Multiplicação e divisão
Já na multiplicação e divisão de radicais deve-se conservar a raiz e realizar as operações básicas com os radicandos:
∛7 . ∛9 = ∛ (7 .9) = ∛63
⁵√150: ⁵√30 = ⁵√(150 : 30) = ⁵√5
Com radicais de índices distintos deve-se igualá-los:
∛7 . √3 =
³ˣ²√7 . ¹ˣ² . ²ˣ³√3¹ˣ³ =
³ˣ²√7 . ¹ˣ² . ²ˣ³√3¹ˣ³ =
⁶√49 . ⁶√27 = ⁶√1323
∛4 : ⁵√2
³ˣ⁵ √4 ¹ˣ⁵ : ⁵ˣ³ √2 ¹ˣ³ =
¹⁵√(1024 : 8) = ¹⁵√128