Operação matemática relacionada à multiplicação
A raiz quadrada de um algarismo é dada por um o número positivo n, que ao ser elevado ao quadrado (multiplicado por ele mesmo), se iguala a x. Na área da matemática, a raiz quadrada auxilia na resolução de vários problemas, entre eles as equações de segundo grau e o Teorema de Pitágoras.
Representação raiz quadrada.
Confira abaixo alguns exemplos de números e suas respectivas raízes quadradas:
v3 = 1.732... (raiz quadrada não exata)
v9 = 3, pois 3² = 9
v25 = 5, pois 5² = 36
Elementos da radiciação. (Foto: Educa Mais Brasil)
Note que o índice da raiz quadrada é dois, mas não aparece na expressão pois é uma exceção. Mas por regra, a nomenclatura em radiciação é dada da seguinte forma:
• Se o índice for 3, chamamos de raiz cúbica;
• Se o índice for 4, chamamos de raiz quarta;
• Se o índice for 5, chamamos de raiz quinta.
História da raiz quadrada
Os cálculos que envolvem a raiz quadrada são acompanhados por um símbolo, chamado de radical. Acredita-se que a princípio, tal símbolo foi usado pelos matemáticos árabes, como uma derivação de uma das letras que compõem o alfabeto árabe.
A segunda suposição para o uso inicial do símbolo radical está na adaptação da letra r, inicial da palavra latina radix (fundamento, origem, raiz). Mas sabe-se que por meio de registros históricos, o símbolo foi impresso pela primeira vez em 1525, no livro “Die Coss”, de Christoph Rudolff.
Radiciação
A radiciação é uma operação matemática utilizada para determinar a raiz de um número. Os principais tipos são:
• Se o índice for 2, é nomeada de raiz quadrada (mas não é necessário colocar o índice);
• Se o índice for 3, é nomeada de raiz cúbica;
• Se o índice for 4, é nomeada de raiz quarta;
• Se o índice for 5, é nomeada de raiz quinta.
A radiciação possui algumas propriedades que servem para solucionar problemas que envolvem raízes. Confira:
1ª propriedade: se o radical tiver índice igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando;
2ª propriedade: a raiz não sofre alteração se for multiplicado ou dividido o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor;
3ª propriedade: o produto de radicais com o mesmo índice é igual ao produto de radicandos;
4ª propriedade: o quociente de radicais com o mesmo índice é igual ao quociente de radicandos;
Como calcular a raiz quadrada
Algumas raízes quadradas são bem conhecidas, por exemplo: v4 = 2, v9 = 3, v25 = 5. Um dos métodos utilizado para identificar uma raiz é por tentativa e erro, ou seja, são realizadas várias multiplicações até encontrar a resposta correta.
Sabendo que v900 = 30, vamos encontrar o resultado da v1156. A primeira etapa é realizar a multiplicação dos números próximos à raiz quadrada de 30:
30 x 30 = 900
31 x 31 = 961
32 x 32 = 1.024
33 x 33 = 1.084
34 x 34 = 1.156
O método de tentativa e erro é efetivo para números pequenos. Em casos de números grandes ou para mais de uma raiz, o indicado é fazer a fatoração, que consiste na decomposição de um número em fatores primos.
O processo de decomposição de um número segue algumas etapas. Não lembra quais são? É só acessar o artigo números primos.
Agora que você relembrou como faz a fatoração, vamos descobrir a raiz quadrada do número 256:
Fatoração 256.
O seguinte resultado foi obtido:
Resultado fatoração.
Tipos de raízes quadradas
Como já dito, a raiz quadrada corresponde à multiplicação de um número por ele mesmo. Por exemplo, v9 = 3, a raiz obtida é um número inteiro, sendo denominada de quadrado perfeito ou raiz quadrada exata.
Observe abaixo a tabela com alguns quadrados perfeitos:
v1 = 1 | v36 = 6 | v121 = 11 | v256 = 16 | v900 = 30 | v6400 = 80 |
v4 = 2 | v49 = 7 | v144 = 12 | v289 = 17 | v1600 = 40 | v8100 = 90 |
v9 = 3 | v64 = 8 | v169 = 13 | v324 = 18 | v2500 = 50 | v10.000 = 100 |
v16 = 4 | v81 = 9 | v196 = 14 | v361 = 19 | v3600 = 60 | v 12.100 = 110 |
v25 = 5 | v100 = 10 | v225 = 15 | v400 = 20 | v4900 = 70 | v14.400 = 120 |
Porém, quando a raiz obtida não é o número inteiro, ela é denominada de quadrado imperfeito ou raiz quadrada não exata. Todos os números que possuem essa característica, fazem parte do conjunto dos números irracionais e, consequentemente, as raízes são decimais infinitos.
Para realizar o cálculo de raízes imperfeitas é feita uma projeção entre as raízes próximas ao número em questão. Nesse método por aproximação, deve-se adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
Vamos identificar a v54, tendo em vista que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 = 7 e v64 = 8:
7,1 x 7,1 = 50,41
7,2 x 7,2 = 51,84
7,3 x 7,3 = 53,29
7,4 x 7,4 = 54,76
Deste modo, a raiz quadrada aproximada de 54 é 5,29.
Outro modo de calcular raízes não exatas é através da fatoração do número, seguida pela simplificação dos radicais. Observe o exemplo da v512:
Fatoração 512.
Após a simplificação obtemos o resultado:
Resultado fatoração.