Relacionam medidas de um triângulo retângulo
As relações métricas no triângulo retângulo são parte da geometria plana e se relacionam às medidas correspondentes em triângulos retângulos. Desta forma, a expressão encontra medidas não conhecidas de um triângulo. Assim, conseguimos encontrar catetos, a hipotenusa a partir das semelhanças entre as figuras.
Elementos do triângulo retângulo
O triângulo retângulo é um tema muito importante para a geometria plana. É formado por um ângulo interno de 90° e os outros dois menores que somados formam 90°. Os dois ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares e formam juntos também 90°.
Os elementos de um triângulo retângulo são:
• a: hipotenusa;
• b: cateto;
• c: cateto;
• m: projeção do cateto b sobre a hipotenusa;
• n: projeção do cateto c sobre a hipotenusa;
• h: altura relativa à hipotenusa.
Altura do triângulo permite obter as relações métricas no triangulo retângulo. (Foto: Wikipédia)
Semelhança entre os triângulos
Ao analisar a imagem anterior, percebe-se ainda que dois triângulos retângulos são formados depois de a altura ser marcada a partir do ângulo de 9º até o lado da hipotenusa. Os triângulos apresentados são semelhantes entre si, ou seja, seus ângulos são congruentes e os seus lados são proporcionais.
Na imagem apresentada acima, os triângulos semelhantes. São eles:
cnh ~ abc ~ mhb
Relações métricas no triângulo retângulo
Com essas informações iniciais é possível entender e encontrar quatro das relações métricas no triângulo retângulo.
São elas:
1º a está para c, assim como b está para n, ou seja;
a/c = b/n
a.h = b.c
2º h está para m, assim como n está para h;
h/n = m/h
h²=m.n
3º a está para b, assim como c está para o n;
a/c = c/m
c² = a.m
4º a está para b, assim como b está para m;
a/b = b/m
b²= a.m
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é uma das relações métricas e diz que:
A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Ou seja:
a² = b² + c²
Exemplo:
Conhecendo os calores dos catetos 10 e 24, encontre a hipotenusa.
a² = b² + c²
a² = 10² + 24²
a² = 100 + 576
a² = 676
a = raiz de 676
a = 26
Então, o valor da hipotenusa é igual a 29.
Pode-se conferir a veracidade do Teorema a partir das relações métricas:
Ao somar (b²= m . a) e (c²= n . a), tem-se:
(b² = m . a) + (c² = n . a)
b² + c² = m . a + n . a
Ao colocar o a em evidência, encontra-se:
a (m + n) = b² + c²
Como a soma entre as duas projeções (m + n) é igual a hipotenusa (a), então:
a² = b² + c²
Com essas relações métricas e o Teorema de Pitágoras é possível resolver a maioria das questões sobre o assunto.
Exemplos 01:
Quando a hipotenusa de um triângulo retângulo for 64 centímetros e uma de suas projeções medir 16 centímetros, qual será a medida do cateto adjacente da projeção?
Solução da questão:
b² = a . m
b² = 64 · 16
b² = 1024
b = raiz de 1024
b = 32 centímetros.
Resposta: O valor do cateto adjacente será 32 centímetros.
Exemplo 02:
Se a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa igual a 12 e a projeção do cateto CA sobre a hipotenusa igual a 36. Calcule o valor da hipotenusa e do cateto adjacente.
Solução da questão
1º Ao somar os valores das projeções dos catetos:
12 + 36 = 48
Resposta 01: o valor da hipotenusa é 48.
2º Como já se conhece o valor da hipotenusa, é possível ode calcular o cateto adjacente usando a fórmula b² = a . n. Desta forma:
b² = a . n
b² = 48 . 12
b² = 576
b = raiz de 576
b = 24
Resposta 02: o valor do cateto adjacente é igual a 24.