Ligações entre as funções trigonométricas
As relações trigonométricas ou identidades trigonométricas expressam as relações entre os valores das funções trigonométricas de seno, cosseno e tangente em um arco do círculo trigonométrico.
No triângulo abaixo, podemos notar as razões trigonométricas sen(a), cos(a) e tg(a):
Triângulo retângulo. (Foto: Wikipédia)
O que é trigonometria?
Relações trigonométricas, razões trigonométricas, seno, cosseno, tangente, entre outras palavras fazem parte da trigonometria, o ramo da matemática estuda as relações entre os lados e os ângulos do triângulo.
O foco da trigonometria é o triângulo retângulo, um polígono que possui um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos (menores que 90). Tal polígono possui três lados:
• Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
• Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
• Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.
As relações trigonométricas correspondem as possíveis divisões entre as medidas dos dois lados de um triângulo. As três razões mais conhecidas são:
• Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa
• Cosseno (cos) = cateto adjacente/hipotenusa
• Tangente (tg) = cateto oposto/cateto adjacente
Círculo trigonométrico
Seno, cosseno e tangente podem ser representados de forma gráfica no círculo trigonométrico, também chamado de ciclo ou circunferência trigonométrica. Ele corresponde a circunferência com raio igual a 1(um) e está associado a um sistema de coordenadas cartesianas.
Quando dividida em quatro partes iguais, a circunferência dá origem a quatro quadrantes:
• 1° Quadrante: 0°
• 2° Quadrante: 90°
• 3° Quadrante: 180°
• 4° Quadrante: 270°
Uma das características do círculo trigonométrico é a simetria. Em função disso, no eixo vertical encontramos o seno e o horizontal o cosseno. Cada ponto do círculo está associado a valores que podem ser em graus ou radianos, sendo proporcionais:
Veja abaixo exemplos relações entre graus e radianos:
• p rad = 180°
• 2p rad = 360°
• p/2 rad = 90°
• p/3 rad = 60°
• p/4 rad = 45°
Relações trigonométricas no círculo trigonométrico
Com base no círculo trigonométrico são obtidas as funções trigonométricas, consideradas funções angulares. Para ilustrar esse conceito, imagine um número real qualquer x e um ponto P do círculo trigonométrico, que está associado a um único valor para seno e cosseno, respectivamente, sen(x) e cos(x):
Relações trigonométricas no círculo. (Educa Mais Brasil)
Assim,
sen (x): é a ordenada de P
cos (x): é a abscissa de P
Tg (x) = sem(x)/cos(x)
Como o raio da circunferência corresponde a uma unidade, todos os pontos da circunferência trigonométrica possuem essa distância da origem. A aplicação do Teorema de Pitágoras resulta na seguinte relação trigonométrica fundamental:
sen² (x) + cos² (x) = 1
A partir de seno e cosseno é possível obter a tangente, além de outras funções trigonométricas: cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (cossec).
A cotangente é o inverso da tangente: cotg(x) = 1/tg (x) ou cos (x)/sen (x)
A secante é o inverso do cosseno: sec(x) = 1/cos (x)
A cossecante é o inverso do seno: cossec(x) = 1/sen (x)
Relações trigonométricas derivadas ou decorrentes
Com base nas relações trigonométricas básicas, podemos obter outras relações chamadas de derivadas. Veja abaixo dois casos especiais:
a) sen²(x) + cos²(x) = 1 dividida por cos² x
sen²(x)/ cos²(x) + cos²(x) / cos²(x) = 1/ cos²(x)
tg²(x) = sen²(x)/ cos²(x) e sec²(x) = 1/ cos²(x)
Com a substituição temos,
tg²(x) + 1 = sec²(x)
b) sen²(x) + cos²(x) = 1 dividida por sen²(x)
sen²(x)/ sen²(x) + cos²(x)/ sen²(x) = 1/sen²(x)
cos²(x)/ sen²(x) = cotg²(x) e 1/ sen²(x) = cossec²(x)
Com a substituição temos,
1 + cotg²(x) = cossec²(x)
Exemplos de relações trigonométricas
1) Seno, cosseno e tangente da soma
sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b). cos(a)
cos(a + b) = cos (a). cos(b) – sen(a). sen(b)
tg(a + b) = tg(a) + tg(b)/ 1 – tg(a). tg(b)
2) Seno, cosseno e tangente da diferença
sen(a - b) = sen(a). cos(b) – sen(b). cos(a)
cos(a - b) = cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b)
tg(a - b) = tg(a) – tg(b)/ 1 + tg(a). tg(b)
3) Soma de seno, cosseno e tangente
Sen(a) + sen(b) = 2sen (a + b/ 2). cos (a - b/ 2)
Cos(a) + cos(b) = 2cos (a + b/ 2). Cos(a – b/ 2)
Tg(a) + tg(b) = [sen(a + b)/ cos(a). cos(b)]
4) Subtração de seno, cosseno e tangente
Sen(a) - sen(b) = 2sen (a - b/ 2). cos (a + b/ 2)
Cos(a) - cos(b) = -2sen (a + b/ 2). sen(a – b/ 2)
Tg(a) - tg(b) = [sen(a - b)/ cos(a). cos(b)]
5) Potências de seno e cosseno
sen²(a) = 1 – cos(2a)/ 2
sen³(a) = 3sen(a) – sen(3a)/ 4
cos²(a) = 1 + cos(2a)/ 2
cos³(a) = 3cos(a) + cos(3a)/4