Retas que se cruzam em um único ponto
São definidas como retas concorrentes aquelas que se cruzam em um único ponto, formando quatro ângulos. De acordo com as medidas desses ângulos, elas ainda podem ser consideradas retas perpendiculares ou retas oblíquas.
Mas antes de caracterizar as retas concorrentes, você sabe de fato o que é uma reta?
Na geometria, um reta corresponde ao conjuntos de pontos que formam uma linha infinita, unidimensional (uma dimensão) e sem curvas. Sobre esse elemento geométrico ainda sabemos que:
• Um reta é composta por infinitos pontos e nenhum espaço entre eles;
• As retas podem posicionar-se nas formas: horizontal, vertical e inclinada;
• Na geometria plana, as retas são chamadas de retas no plano; na geometria espacial, as retas são chamadas de retas no espaço.
Euclides de Alexandria, considerado “pai da geometria”, desenvolveu alguns postulados e axiomas sobre essa área da matemática, algumas delas referem-se às retas:
P1) A reta é infinita, isto é, possui infinitos pontos;
P2) Por um ponto podem ser concebidas infinitas retas;
P3) Por dois pontos diferentes passa apenas uma reta.
A depender da posição no plano, as retas podem ser classificadas basicamente como:
• Retas paralelas: não se cruzam eu nenhum ponto e estão posicionadas lado a lado, num mesmo sentido;
• Retas concorrentes: se cruzam em um único ponto, formando quatro ângulos;
• Retas coincidentes: se cruzam em todos os pontos, caracterizando-se como única.
Retas concorrentes
Como já dito, duas retas são consideradas concorrentes quando se cruzam em um ponto comum. Essa interseção dá origem a quatro ângulos, que podem ter medidas iguais ou não.
Se um dos ângulos formados é igual a 90°, ou seja, é um ângulo reto há um caso de retas perpendiculares. Contudo, se um dos ângulos formados for diferente ao de 90° trata-se se um caso retas oblíquas.
Para entender melhor esse conceito observe a imagem abaixo. Nela podemos notar duas retas (r e s), que se cruzam em um único ponto (P) e formam quatro ângulos - quais a e ß e seus opostos entre si pelo vértice P.
Ainda sobre os ângulos formados, podemos notar que nenhum deles é reto (90°), logo tratam-se de retas concorrentes oblíquas. Sabe-se também que a soma entre a e ß é igual a 180°, caracterizando-os como ângulos suplementares.
Retas concorrentes. (Foto: Educa Mais Brasil)
Ângulos das retas. (Foto: Educa Mais Brasil)
Ponto de interseção
A existência de um ponto de interseção caracteriza duas retas como concorrentes. Logo, esse ponto faz parte das equações gerais das retas e suas coordenadas podem ser encontradas a partir da resolução do sistema de equações.
A equação geral da reta é expressa como ax + by + c = 0. Para duas retas, ax + by + c = 0 e dx + ey + f = 0, que se encontram no ponto P (xo, yo), os valores das incógnitas nesse ponto devem ser iguais em ambas as equações.
Para exemplificar o ponto de interseção de duas retas concorrentes, considere as retas s e t que possuem, respectivamente, as equações gerais x + y – 2 = 0 e 3x – y + 4 = 0. O ponto P (x0, y0) pode ser identificado de forma simplificada através das seguintes etapas:
O primeiro passo é escrever o sistema de equações:
x + y – 2 = 0
3x – y + 4 = 0
Em seguida, deve-se isolar a incógnita de cada uma das equações:
y = 2 – x
y = 4 + 3x
Perceba que as duas expressões em função de x são iguais a y, então elas são iguais entre si:
2 – x = 4 + 3x
– x – 3x = 4 – 2
– 4x = 2
x = – 2/4
x = – 1/2
Ao substituir x em uma das equações temos:
y = 2 – x
y = 2 – 1/2
y = 4 – 1/ 2
y = 3/2
O ponto de intersecção P (xo, yo) no plano cartesiano tem coordenadas as coordenadas P (-1/2, 3/2).