Retas que formam um ângulo de 90°
As retas perpendiculares quando se cruzam entre si num ponto comum constroem um ângulo reto (90°). A perpendicularidade ou ortogonalidade não é uma característica exclusiva das retas, pois também é aplicada ao plano.
Observe a imagem abaixo. Nela há duas retas no plano cartesiano, r e s, que se interceptam no ponto P:
Retas perpendiculares. (Foto: Educa Mais Brasil)
O que é uma reta?
Esse elemento da geometria plana pode ser definido como o conjunto de pontos infinitos e de tamanho imensurável, por isso as retas geralmente são desenhadas com setas nas duas extremidades, indicando que não possuem fim.
Sobre as retas, ainda é possível fazer algumas observações básicas:
• As retas são linhas infinitas;
• As possuem apenas uma dimensão (unidimensionais);
• Em uma reta existem incontáveis pontos;
• As retas podem estar dispostas nas posições horizontal, vertical e inclinada.
Tanto a reta quanto o plano são temas importantes da geometria euclidiana – área da matemática baseada nos postulados de Euclides de Alexandria. Algumas dessa preposições referem-se às retas:
• Postulado da existência: em uma reta, assim como fora dela, existem vários pontos;
• Postulado de determinação: dados dois pontos diferentes do espaço, existe apenas uma reta que os contém;
• Postulado da inclusão: se uma reta possui dois ou mais pontos num plano, ela está contida no plano;
Tipos
As retas também podem ser classificadas como:
• Retas paralelas: retas posicionadas uma ao lado da outra, no mesmo sentido e sem ponto comum entre elas;
• Retas coincidentes: retas que possuem no mínimo dois pontos em comum;
• Retas transversais: retas que possuem diferentes pontos interseção em outras retas;
• Retas concorrentes: retas que se encontram em determinado ponto (vértice).
As retas oblíquas são consideradas um tipo especial de reta concorrente, mas que formam um ângulo diferente de 90°. Já nas retas perpendiculares o ângulo formado é reto.
Coeficiente angular
O coeficiente angular, também chamado de declividade de uma reta, mede a inclinação da reta frente ao eixo das abcissas, a linha horizontal do plano cartesiano. Ele também ajuda a qualificar se duas retas são perpendiculares ou não.
A fórmula utilizada para calcular o coeficiente angular de uma reta é:
m = tga
Nessa expressão, o m indica um número real e representa o ângulo de inclinação da reta. Sobre o ângulo de inclinação, devemos levar em consideração algumas observações:
• Quando o ângulo for igual a 0°, m = tg e a = 0;
• Quando o ângulo a for agudo (menor que 90°), m = tg e a > 0;
• Quando o ângulo a for obtuso (maior que 90°), m = tg a;
• Quando o ângulo a for reto (90°) não é possível calcular o coeficiente, pois não existe tangente de 90° .
Retas perpendiculares
No início do texto há uma imagem com duas retas perpendiculares que se interceptam em um ponto, formando um ângulo de 90°. Genericamente, m1 representa o coeficiente angular da reta r e m2, consequentemente, é o coeficiente da reta s.
Essas retas só serão consideradas perpendiculares nas condições abaixo:
• m1 . m2 = -1 ou
• m2 = -1/m1 ou
• m1 = -1/m2
Deste modo, a partir das relações estabelecidas entre m1 e m2, é possível afirmar que as duas retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos.
Observe a imagem abaixo:
Aplicação retas perpendiculares. (Foto: Guia Estudo)
a1 representa o ângulo de inclinação da reta s, enquanto a2 é ângulo de inclinação da reta r. Quando essas retas se cruzaram, o triângulo ABC é formado e a partir dele é torna-se possível fazer as seguintes relações:
a2 = a1 + 90°
No cálculo da tangente dos dois lados da expressão, temos:
tga2 = tg ( a1 + 90°)
Sabendo que tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno desse ângulo, obtemos a seguinte equação:
Equações.
Como m1 = tg a1 e m2 = tg a2, podemos afirmar que:
m2 = -1/m1 ou m1. m2 = -1, logo r e s são retas perpendiculares.