Secante

Razão trigonométrica inversa

A secante é uma função trigonométrica tratada como o inverso do cosseno. Esse estudo está relacionado à área da trigonometria, onde abrange as relações que envolvem os lados de um triângulo e também os seus ângulos. Por isso, antes de entrarmos no assunto da secante, é fundamental revisar as propriedades e composições do triângulo retângulo.

Figura geométrica plana do triângulo retângulo. (foto: Wikipédia Commons)

Composições do triângulo retângulo

• É uma figura geométrica plana (bidimensional) constituída por três lados;

• A soma total dos ângulos do triângulo retângulo são 180°;

• Um dos ângulos possui 90° (ângulo reto);

• Os outros dois ângulos são menores que 90° (ângulo agudo);

• Ele é composto por catetos e hipotenusa;

• A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo;

• O cateto oposto é o que fica oposto ao ângulo agudo;

• O cateto adjacente é o que está próximo do ângulo agudo.

Considere a figura abaixo:

Representação do triângulo retângulo. (foto: Wikipédia)

Veja que:
CB: corresponde a hipotenusa
BA corresponde ao cateto oposto
AC corresponde ao cateto adjacente

As razões trigonométricas

Após a revisão da figura geométrica triângulo retângulo abordaremos as relações trigonométricas do ângulo agudo. São elas: seno, cosseno e tangente. Entenda a seguir cada uma delas.

Seno

O seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto sobre a hipotenusa.

Fórmula seno.

Cosseno

O cosseno, por sua vez, é a razão do cateto adjacente sobre a hipotenusa. Sendo assim, temos a seguinte relação matemática:

Fórmula cosseno.

Tangente

A tangente é a razão entre os catetos oposto e o adjacente. Veja abaixo a relação matemática da tangente.

Fórmula tangente.

Resumo das funções, seno, cosseno e tangente

Tabela de valores das funções. (Imagem: Educa Mais Brasil)

Cossecante, cotangente e secante: funções inversas

A Cossecante

A cossecante é o inverso do seno. Ela é expressada da seguinte maneira:

Razão cossecante.

Ou seja, a cossecante é igual a um sobre seno.

A Cotangente

Já a cotangente é definida como a razão trigonométrica oposta a tangente. Confira abaixo a expressão matemática utilizada:

Razão cotangente.

Portanto, a cotangente é igual a um sobre tangente.

Secante

Como citado, a secante é o inverso do cosseno. Dessa forma podemos dizer que a secante é igual a um sobre cosseno. Veja a seguinte operação matemática:

Razão secante.

Assim, a secante corresponde ao valor de um sobre cosseno. Essa função trigonométrica será abordada com mais detalhes à frente.

Resumo das funções secante, cossecante e cotangente

A tabela abaixo corresponde às funções trigonométricas secante, cossecante e cotangente

Tabela das funções secante, cossecante e cotangente. (Imagem: Educa Mais Brasil)

Atribuições da função secante

• A função: a secante é expressa pela seguinte forma matemática: f (x) sec x
• Conjunto imagem: ela é apresentada por R- (-1,1).
• Domínio: essa função trigonométrica tem o domínio idêntico ao conjunto dos números reais, onde tira-se os valores nos quais p cos x = 0. Dessa forma, temos a definição do domínio da forma seguinte:

• Paridade: quanto à paridade a função secante é par, portanto: sec x = sec (-x).
• Período: já o período corresponde a 2p

O sinal da função secante

O sinal da função secante apresenta variações a depender do quadrante em que esteja. A figura abaixo representa essa variação de sinal.

Variável de sinal da função secante. (Imagem: Educa Mais Brasil)

Dessa forma, entende-se que:

• 1º e 4º quadrantes: o valor do sinal é positivo
• 2º e 3º quadrantes: o valor do sinal é negativo

Quais são os valores notáveis

A tabela a seguir apresenta os valores notáveis da função secante.

Tabela dos valores notáveis da função secante. (Imagem: Educa Mais Brasil)

Exemplo de como determinar a secante de 90°

Secante 90°.

Dessa maneira, conclui-se que para x=90° a função não se define. Ou ainda que: x=270°

A secante dos ângulos notáveis

Confira abaixo a tabela dos ângulos dos valores notáveis de 30°, 45° e 60°.

Tabela dos ângulos notáveis. (Imagem: Educa Mais Brasil)

Relembre as unidades de medida Grau (°) e Radiano (rad)

Para calcular as funções trigonométricas é importante entender as unidades de medida grau e radiano. Dessa forma é necessário entendê-los, principalmente a conversão dessas unidades.

Unidade de medida: grau (°)

• O grau é o arco unitário cujo valor da circunferência corresponde a

• O cumprimento da circunferência equivale a 360°;

• As subunidades dos graus são: segundo’’ e minuto’;
• Um minuto equivale a sessenta segundos;
• Um grau corresponde a sessenta minutos: 1’= 60’;
• Um grau é igual a três mil e seiscentos segundos: 1° = 3600’’.

Unidade de medida radiano (rad)

• O radiano é definido por ser um arco unitário.
• Ele corresponde a medida do raio da circunferência.
• O valor de 2p rad equivale a medida da circunferência completa.

A tabela a seguir contém um resumo com as relações das unidades de medida: grau e radiano.

Tabela de valores grau e radiano. (Imagem: Educa Mais Brasil)

Contribuições importantes

A secante, assim como as demais funções trigonométricas abrange o assunto da trigonometria. Esse tema é recorrente não apenas nos vestibulares, mas em âmbitos profissionais. Para chegar até a formação atual, essa ciência matemática teve grandes estudiosos que contribuíram para a evolução. Veja abaixo importantes nomes:

Hiparco de Niceia

Foi um astrónomo, cartógrafo e matemático. É visto na história da ciência matemática como o “Pai da trigonometria”. Entre uma das importantes contribuições está a criação da tabela trigonométrica, na segunda metade do século II a.C. Ele estabeleceu essa tabela para facilitar os cálculos astronômicos. Além disso, Hiparco foi o responsável por introduzir na Grécia estudos da divisão da circunferência em 360°.

Menelau de Alexandria (ca. 70 — 130)

Ele foi um astrônomo e matemático da Grécia. Marcou os estudos da trigonometria principalmente na área de trigonometria esférica. Tem seis importantes obras, como “Elementos de Geometria” e “O Livro das Proposições Esféricas”. Os demais livros perderam-se ao longo da história, no entanto esse último existe atualmente.

Esse matemático grego também desenvolveu um importante teorema que recebe o seu nome: “Teorema de Menelau”. Esse é voltado para resolver questões que envolvem triângulos e está alusivo aos conjuntos de segmentos que são concorrentes. De acordo com essa expressão, ao considerar três pontos X, Y e Z, respectivamente em cada reta BC, AC e AB, o X, Y e Z serão colineares se:

Teorema Melenau.

Cláudio Ptolomeu

Foi um astrônomo e geógrafo grego que viveu na cidade de Alexandria, no Egito. Ptolomeu ficou conhecido pelos importantes trabalhos não apenas na matemática, mas na astronomia, geografia e cartografia. Ptolomeu foi um importante nome para a trigonometria, principalmente, por ter criado um sistema geométrico-numérico, baseado nos estudos da teoria geocêntrica de Aristóteles. Além disso, ele também desenvolveu trabalhos respeitáveis em óptica e teoria musical.