Equivalências entre ângulos e lados
A semelhança de triângulos é um dos principais assuntos da Geometria Plana, pois compara os lados e ângulos dos triângulos para determinar se os mesmos são de mesma medida ou proporcionalidade.
De acordo com a definição, dois triângulos são semelhantes quando apresentam os três ângulos congruentes e os respectivos lados proporcionais. Por tais motivos, o quociente da divisão entre esses lados deve ser constante.
Considerando os triângulos ABC e A’B’C’ representados abaixo, os ângulos correspondentes possuem medidas iguais, tornando-os semelhantes. Portanto, é realizada as seguintes proporções:
Proporções entre triângulos. (Foto: Educa Mais Brasil)
Sendo,
• k: razão de semelhança
• ~ : notação de semelhança
Casos de semelhança de triângulos
Para verificar se dois triângulos realmente são semelhantes não é preciso observar todos os lados e ângulos. Existem alguns mecanismos que facilitam a constatação, uma vez que os triângulos são polígonos com menor número de lados.
Caso Ângulo - Ângulo (AA~)
Caso dois triângulos apresentem dois ângulos correspondentes e congruentes são tidos como semelhantes. É desnecessário examinar o terceiro ângulo e a proporcionalidade entre os lados.
Representação do caso ângulo-ângulo. (Foto: Educa Mais Brasil)
Caso Lado-Lado-Lado (LLL~)
Caso dois triângulos possuam três lados correspondentes proporcionais são classificados de semelhantes, ou seja, triângulos com três lados proporcionais geralmente compõem ângulos correspondentes congruentes.
Representação do caso lado-lado-lado. (Foto: Educa Mais Brasil)
Caso Lado-Ângulo-Lado (LAL~)
Caso dois triângulos tenham pares de lados proporcionais e o ângulo entre eles for de mesma medida são considerados semelhantes. O exemplo a seguir demonstra essa definição.
Representação do caso lado-ângulo-lado. (Foto: Educa Mais Brasil)
Teorema Fundamental
O teorema fundamental ressalta que se uma reta paralela for colocada em um dos lados do triângulo, a mesma reta intercepta os outros dois lados em pontos diferentes. Dessa forma, é criado uma forma análoga à original.
Na representação a seguir, o triângulo ABC é interceptado pela reta r, que é paralela ao lado BC.
Teorema fundamental. (Foto: Educa Mais Brasil)
Ao observá-los, é notável a semelhança, já que os ângulos D, E, B e C constituem razões de proporcionalidade. Além disso, o mesmo ângulo A serve para o triângulo formado pela reta r.
Diante dessas características e pelo caso ângulo-ângulo, confirma-se que os polígonos ABC e ADE são semelhantes.
Igualdade de triângulos
Vale destacar que semelhança de triângulos não significa congruência de triângulos. Eles são definidos como iguais quando apontam as seguintes propriedades:
• Lados com medidas iguais;
• Dois lados dos triângulos de mesma medida, bem como o ângulo formado por eles;
• Dois ângulos dos triângulos congruentes, assim como o lado entre eles.
Relações métricas no triângulo retângulo
O triângulo retângulo é a figura plana que possui um ângulo reto (90°) e dois outros agudos (menores que 90°). A soma de todos os seus ângulos internos corresponde a 180°, o que caracteriza como um ângulo raso.
Na imagem do triângulo, a altura, que faz referência à hipotenusa, o separa em dois triângulos retângulos. Nota-se que os triângulos ABC, ABH e AHC têm em comum o ângulo de 90°, e os lados AB, AC, AH, CH, AH e BH são proporcionais. Desse modo, afirma-se a semelhança entre eles.
Relações métricas no triângulo retângulo. (Foto: Educa Mais Brasil)
Com as medidas dos lados proporcionais, ocorre as relações métricas, ou seja:
A hipotenusa é resultado da soma das projeções: a = m + n
O quadrado da altura da hipotenusa é igual ao resultado das projeções dos catetos: h² = m.n
O quadrado de um cateto é igual ao resultado entre a sua projeção e a hipotenusa: b² = a.m ou c² = a.n
O resultado entre a hipotenusa e sua altura equivale ao resultado dos catetos: a.h = b.c
A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (Teorema de Pitágoras): a² = b² + c²
Aplicação
Como as representações abaixo mostram um par de triângulos semelhantes, vamos descobrir a medida do seguimento AB.
Aplicação. (Foto: Educa Mais Brasil)
Já que os lados homólogos são BA, ED, BC, EF, AC e DF, efetuamos o cálculo da proporcionalidade:
BC/ EF = AC/DF
BC /10 = 4/8
8BC = 10.4
8BC = 40
BC = 40/8
BC = 5
Agora que sabemos o valor da hipotenusa (BC), basta utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do cateto oposto (AB):
c² = a² +b²
52 = AB² + 42
25 = AB² + 16
25 – 16 = AB²
9 = AB²
AB = v9
AB = 3
ED = 6