Relação trigonométrica que calcula elementos do triângulo retângulo
O Seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo, ou seja, trata-se de uma razão trigonométrica.
Vale lembrar que razão ou relação trigonométrica é o estudo dos ângulos de um triângulo retângulo. Portanto, para compreender a definição e funções do seno, é importante rememorar os principais elementos de um triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
O triângulo é considerado retângulo quando um dos seus ângulos é igual a 90º. Muito utilizada na matemática, essa figura geométrica tem como principais elementos:
Catetos: formam o ângulo de 90º, ou seja, são os dois lados menores do triângulo retângulo (oposto e adjacente).
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, o maior de um triângulo retângulo.
Altura relativa à hipotenusa: é a extensão entre o vértice oposto e a hipotenusa.
Projeção dos catetos: é a divisão em duas partes da altura relativa à hipotenusa.
Pontos A, B e C, sendo a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n. (Foto: Wikipedia)
Definição do seno de um ângulo
Seno de um ângulo. (Foto: Pixabay)
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao referido ângulo e a hipotenusa de um triângulo retângulo.
Dessa forma, pode-se entender que a razão é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa. Porém, essa relação depende do ângulo considerado.
Seno dos ângulos notáveis
São chamados ângulos notáveis aqueles calculados com mais frequência (30°, 45° e 60°).
Ângulos notáveis são aqueles calculados com mais frequência. (Foto: Educa Mais Brasil)
Observando a imagem acima, pode-se calcular o valor do seno de 30°, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa conforme descrito abaixo. Observe também que o valor de 60° é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
sen (30°) = (x/2)/x = x/2 . 1/x = 1/2
sen (60°) = h/x
Para saber o valor do seno de um ângulo de 45°, o quadro abaixo pode ser usado, tendo como referência um quadrado de lado x:
Seno de um ângulo de 45° (Foto: Educa Mais Brasil)
Já o cálculo deve ser feito da seguinte maneira:
sen (45º) = x/(xv2) = 1/v2
sen (45º) = 1/v2 . v2/v2 = v2/2
A tabela abaixo pode ser utilizada para servir como base dos cálculos dos senos dos ângulos de 30º, 45º e 60º.
| 30º | 45º | 60º | |
| Sen | 1/2 | v2/2 | v3/2 |
Função seno
É uma função periódica que pode ser expressa por: f(x)=sen(x).
No Círculo Trigonométrico (Ciclo ou Circunferência Trigonométrica), é possível identificar a função seno como o intervalo [-1,1]. Ou seja, os valores que o seno pode assumir para qualquer valor x variam entre -1 e 1. Outra forma de exemplificar é -1 = sen(x) = 1, para todo x real.
Círculo função Seno. (Foto:Educa Mais Brasil)
Por meio da imagem acima é possível perceber que o seno de um ângulo será sempre positivo no 1° e 2° quadrantes e negativo no 3° e 4°. Outra característica é estar sempre sob o eixo das ordenadas (y).
Gráfico da função seno
A função seno pode ser representada por meio da tabela e do gráfico abaixo:
| X | f(x) = sen (x) |
0 | 0 |
| p/2 | 1 |
| p | 0 |
| 3p/2 | -1 |
| 2p | 0 |
Gráfico da função seno. (Foto: Educa Mais Brasil)
Tópicos importantes
Para que o entendimento sobre o seno e as demais razões trigonométricas seja completo, além de revisar os conceitos apresentados nesse texto com profundidade, é importante relembrar o Teorema de Pitágoras, que tem como regra “a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa”.
A prática de provas de anos anteriores sobre esse assunto é uma excelente opção para compreender as regras de seno, cosseno e tangente. Uma dica é destacar em cada enunciado o nome dos lados de um triângulo em relação aos ângulos, identificando se é oposto ou adjacente.
É imprescindível ficar atento também às pegadinhas sobre as semelhanças entre triângulos, lembrando que dois triângulos são considerados semelhantes quando seus lados são proporcionais e os ângulos congruentes.
Compreender esses assuntos também é fundamental para quem deseja seguir a carreira de Matemática, afinal de contas, seno e as razões trigonométricas fazem parte do conteúdo programático do curso. A graduação na área dura em média quatro anos e pode ser do tipo licenciatura (prepara professores) ou bacharelado (profissional pode atue em vários segmentos).
Curiosidades sobre a trigonometria
A necessidade do homem de calcular distâncias inacessíveis levou ao surgimento da trigonometria. Apesar de não se conhecer exatamente quando surgiu, sabe-se que na antiguidade já era utilizada para medir distâncias e ângulos. Os estudiosos da época buscam encontrar soluções para as necessidade humanas e localizar pontos sobre a superfície terrestre.
Por conta disso, foi muito utilizada pelos babilônios e egípcios nos séculos IV ou V a.C. nas áreas da Agrimensura (medição de terras), Astronomia e Navegações.
De acordo com a história, o estudo sistemático das relações entre os ângulos ou arcos numa circunferência, bem como os comprimentos de suas cordas foi feito pelos gregos. Mas foram os feitos do astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., com o seu tratado em 12 livros sobre a construção do que deve ter sido a tabela trigonométrica, que levou-o a ser considerado “o pai da Trigonometria”.
Ao contrário do que muitos pensam, a trigonometria pode ser muito utilizada no cotidiano. De que forma? Lembrando que a principal ferramenta dessa área é o triângulo e suas relações com as medidas dos seus lados e ângulos, podemos entender que ela é muito utilizada para medir distância muito longas, como o raio do planeta Terra, a distância entre duas ilhas ou a altura de uma pirâmide, por exemplo.
Outra possibilidade de utilização da trigonometria e, consequentemente, do seno no dia a dia é o cálculo da altura de um avião ou a distância percorrida por ele. Isso é possível calculando o seno, cosseno e tangente de um ângulo do triângulo formado pela altura do avião, seu deslocamento horizontal e hipotenusa.
Pode-se utilizar ainda na astronomia, calculando, por exemplo, o tamanho da sombra dos eclipses e a distância da Terra ao Sol, entre muitas outras utilidades.