Ordenamento de números de um conjunto
Na matemática, uma sequência numérica que representa uma função cujo domínio é um conjunto de elementos contáveis e ordenados. Por exemplo, o conjunto (3, 6, 9, 12, 15...) corresponde a uma sequência de números múltiplos de 3.
Em relação ao exemplo anterior, podemos notar que os múltiplos do número 3 estão reunidos, seguindo uma sequência numérica, ou seja, o conjunto possui um ordenamento.
Confira abaixo outros exemplos de sequências:
a) (1, 3, 5, 7, 9, 11) sequência de números positivos, ímpares e menores que 13;
b) (-2, -4, -6, -8, -10...) sequência de números pares negativos;
c) (2, 3, 5, 7, 11, 13...) sequência de números primos;
d) (I, II, III, IV, V, VI, VI...) sequência de números romanos.
Sequência numérica de números primos. (Foto: Wikipédia)
Classificações para uma sequência numérica
Sequência finita e infinita
O exemplo “a” é considerado um tipo de sequência numérica finita. Isso porque a quantidade de elementos que fazem parte do conjunto é limitada. A sequência finita possui a seguinte estrutura geral:
(a1, a2, a3, a4 ... an)
Já os exemplos “b”, “c” e “d” representam sequências numéricas infinitas, ou seja, a quantidade de elementos é ilimitada. A sequência infinita possui a seguinte estrutura geral:
(a1, a2, a3, a4... an ...)
Perceba que as sequências possuem reticências no final, indicando a infinidade de elementos, enquanto as sequência finitas não possuem esse símbolo. Outro fator característico das sequência, é que os elementos são indicados pela letra a, sendo último termo (enésimo) é representado por an.
Retomando o acordo com o exemplo “a”, os elementos são identificados como:
1° elemento: a1 = 1
4° elemento: a4 = 7
Último termo: an = 11
Intervalo aberto e fechado
Os conjuntos numéricos correspondem aos agrupamentos de elementos (números). Este conceito é muito importante, pois antecipa a ideia de sequência numérica. Dito isso, um conjunto possui intervalos, ou seja, cada número real está entre dois extremos indicados.
Um sequência numérica possui um intervalo fechado, quando um ou mais elementos não fazem parte do conjunto. Em {x R / 4 < x < 7}, os elementos 4 e 7 não pertencem ao intervalo numérico. Portanto, x = {1, 2, 3, 5, 6}.
Contudo, se {x R / 4 = x = 7} esse intervalo será considerado fechado, uma vez que, os elementos 1 e 7 agora compõem o conjunto numérico. Portando, x = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Na condição intermediária, se {x R / a < x = b} ou {x R / a = x < b}, há intervalos semifechado ou semiaberto onde elemento 4 ou o 7 faz parte de um deles. Portanto, x = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ou x = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sequência crescente e decrescente
Quando a contagem é do elemento de menor valor para o de maior valor, dizemos que a ordem é crescente. Mas, quando acontece o posto, do maior valor para o menor, a ordem é decrescente. Essa premissa também se aplica às sequências numéricas, observe abaixo:
(a1, a2, a3, a4 ... an) sequência numérica crescente. Exemplo:
(4, 8, 12, 16, 20, 24...)
(a1, a2, a3, a4...an) sequência numérica decrescente. Exemplo:
(50, 49, 48, 47, 46...)
Leis
A Lei de Formação, também chamada de Termo Geral, é utilizada para calcular o valor de qualquer elemento de uma sequência numérica:
an = 2n – 1
Na tabela abaixo encontram-se os termos gerais de sequências numéricas frequentemente utilizadas:
tabela
Já a Lei da Recorrência permite calcular qualquer elemento de uma sequência numérica com base nos elementos antecessores:
an = an-1, an-2,...a1
Aplicação
Vamos identificar os cinco primos termos da sequência cujo termo geral é 2n– 1:
Se n = 1, então 2 (1) – 1 = 1
Se n = 2, então 2(2) – 1 = 3
Se n = 3, então 2(3) – 1 = 5
Se n = 4, então 2(4) – 1 = 7
Se n = 5, então 2 (5) – 1 = 9
Os cinco primeiros termos dessa sequência são (1, 3, 5, 7, 9...).
Progressão aritmética e geométrica
As progressões aritmética e geométrica são dois tipos de sequência mais vistas durante o período escola. Saiba como diferenciá-las:
A progressão aritmética (PA): sequência numérica em que a diferença entre dois termos é a mesma, dada por uma constante “r”, chamada de razão da progressão aritmética. Exemplo:
(5, 10, 15, 20, 25, 30...) PA finita com razão 5.
A progressão geométrica (PG): sequência numérica determinada pela multiplicação de um elemento com o quociente (q) ou razão da PG. Exemplo:
(2, 4, 8, 16, 32 ,64 …) PG infinita com razão 2.