São conjuntos de equações lineares
Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares que devem ser resolvidas ao mesmo tempo. São formadas por "m" equações e "n" incógnitas e a solução de um sistema linear é o resultado de todas as equações lineares.
Conheça agora os princípios que envolvem os sistemas lineares e método de resolução.
Equação linear
É uma equação com uma ou mais variável em que cada variável tem expoente igual a um e não pode existir multiplicação nem divisão entre elas. Assim, ax + by = 0 é uma equação linear, pois a variável é x e o seu expoente é igual a um (x¹) e a variável y também tem expoente igual a um (y¹).
Quando o termo independente (o que não tem letra) é igual a zero, então essa equação será homogênea.
Exemplos:
• 7x = 10: é linear, pois a variável x tem expoente igual a um;
• 22x – 10y = 0: é linear, pois tanto a variável x quanto y tem expoente igual a um. Além de linear essa equação também é homogênea, pois o termo independente é igual a zero;
• x² + 24x = 35: não é linear, pois a variável x tem valor maior que um (x²);
• 5xy + 3z = 50: não é variável, pois as variáveis x e y se multiplicam (x . y).
Sistemas lineares são formados por conjunto de equações lineares. (Imagem: Freepik)
Sistemas lineares
Depois de conhecer o conceito de equação linear, já é possível entender os sistemas lineares. Estes são conjuntos de equações lineares que possuem as mesmas variáveis. Para encontrar a solução de um sistema linear é necessário descobrir um resultado comum a todas as equações.
Desta forma, as equações abaixo serão sistemas lineares, pois (2, 1) será o resultado em comum entre eles.
2x - y = 3
-x + y = -1
Ao trocar x por 2 e y por 1 tem-se:
2x - y = 3 // (2 . 2) – 1 = 3 // 4 – 1 = 3 // 3 = 3
-x + y = -1 // -2 + 1 = -1 // -1 = -1
No entanto, para que um sistema seja considerado linear deve apresentar a seguinte forma:
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 ... + an.xn = b1
(...)
an1x1 + an2x2 + an3x3 ... + annxn = bn
Solução de sistemas lineares
Existem 3 formas de resolver sistemas lineares. Conheça abaixo como utilizá-los.
Método de substituição
Para esse método, basta isolar uma das variáveis e depois substituir o valor do x na segunda equação.
Exemplo:
2x - y = 3
-x + y = -1
Ao isolar a segunda equação, tem-se:
y= -1 + x
Ao substituir o y:
2x -(-1 +x) = 3
2x + 1 - x =3
2x -x = 3 -1
x= 2
Para encontrar o resultado do y é só substituir o valor encontrado de x em qualquer das equações:
2.2 -y = 3
4 -y = 3
-y = 3 - 4
-y = -1
y= 1
Solução: (2, 1)
Método da adição
Nesse método, deve-se somar ou subtrair as duas equações de forma que corte uma das letras.
Exemplo:
Somando a equação (2x - y = 3) + (-x + y = -1), tem-se:
2x – x = x;
-y +y = 0;
3 – 1 = 2
X então é igual a 2. Depois é só substituir o valor de X nas equações e encontrar o valor de Y.
Método da comparação
Esse é um método mais trabalhoso, mas também é muito utilizado. Para encontrar o resultado, basta isolar uma das letras nas duas equações e depois comparar os resultados.
Exemplo:
2x - y = 3
-x + y = -1
2x - y = 3 // x = (3 + y) / 2
-x + y = -1 // -x = -1 -y (.-1) // x = 1 + y
Ao comparar os dois resultados têm-se
(3 + y) / 2 = 1 + y
3 + y = (1 + y) . 2
3 + y = 2 + 2y
y - 2y = 2 -3
-y = -1 (.-1)
y= 1
Depois é só substituir o valor de Y em algumas das duas equações e encontrar o valor de X.