Método para resolver uma função quadrática
Soma e produto é a técnica matemática para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau sem o auxílio da Fórmula de Bhaskara.
Esse método é adequado para as raízes que são valores inteiros, pois o coeficiente quadrático (a), linear (b) e constante (c) integram o conjunto dos números reais. Na solução de uma equação do tipo ax²+ bx + c = 0, existe três alternativas de resultados: duas raízes reais e distintas, uma raiz real ou duas reais e iguais, e nenhuma raiz real.
Dada a constatação de que as raízes são reais, é possível manter as relações de soma (x’ + x”) e de produto (x’. x”). Isto é:
x’ + x’’ = - b/a ou x. x’’ = c/a
O assunto caracteriza-se pelas relações entre os coeficientes e as raízes. (Foto: Pixabay)
Soma e Produto: como calcular as raízes
Agora que temos conhecimento das fórmulas, vamos desenvolver um exemplo. Entenda como funciona.
Seja a equação x² + 2x - 15 = 0, os passos para resolvê-la são:
Identifique os coeficientes da equação:
a = 1
b = 2
c = - 15
Realize as operações de soma e produto:
x' + x'' = - b/a = - 2/1 = - 2
x''. x'' = c/a = - 15/1 = - 15
Descubra os números reais que possibilitam as relações entre as raízes, ou seja, os valores que somados sejam iguais a - 2, e multiplicados o mesmo que - 15.
1. (-15) = 15
3. (- 5) = - 15
Dos números testados, dois servem para a soma, uma vez que 3 + (- 5) = - 2. Portanto, o conjunto verdade dessa equação é V = {- 5, 3}. Para verificar se os valores estão corretos, basta substituí-los na equação:
x² + 2x - 15 = 0
(- 5)² + 2. (- 5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 15 – 15 = 0
(3)² + 2.3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 15 - 15 = 0
Observação: esse método cabe somente para as equações em que o coeficiente quadrático (a) é igual a 1. Caso não seja, o ideal é a utilização da Fórmula de Bhaskara.
Aplicação
Dada a equação x² - 11x + 30 = 0, teremos:
a = 1; b = - 11 e c = 30
x' + x'' = - b/a = - (- 11/1) = 11
x'. x'' = c/a = 30/1 = 30
Dessa forma, precisamos encontrar os valores que tenham a soma igual a 11 e produto o mesmo que 30.
1.30 = 30
2.15 = 30
3.10 = 30
5.6 = 30
Dos números indicados, o 5 e 6 satisfazem a soma, pois 5 + 6 = 11. Logo, o conjunto solução é S = {5 e 6}. Vamos fazer a prova real?
x² - 11x + 30 = 0
(5)² - 11. 5 + 30 = 25 - 55 + 30 = 55 - 55 = 0
(6)² - 11. 6 + 30 = 36 - 66 + 30 = 66 - 66 = 0
Já no exemplo x² - 3x - 10 = 0:
a = 1; b = - 3 e c = - 10
x' + x'' = - b/a = - (- 3/1) = 3
x'. x'' = c/a = - 10/1 = - 10
Como já sabemos, o próximo passo é testar quais valores que multiplicados sejam iguais a - 10, e somados o mesmo que 3.
1.10 = 10
2.5 = 10
- 2 . 5 = - 10
2. (- 5) = - 10
As duas possibilidades para a soma é - 2 e 5, já que - 2 + 5 = 3. Sendo assim, o conjunto solução é S = {- 2 e 5}. Vamos confirmar?
x² - 3x - 10 = 0
(- 2)². (- 3) . (- 2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 10 - 10 = 0
5². (- 3) . 5 - 10 = 25 -15 - 10 = 25 - 25 = 0